広義積分 $\int_0^1 \frac{2}{\sqrt[3]{x}} dx$ を計算し、空欄を埋める問題です。$\epsilon$ を用いて積分の下限を0から$\epsilon$ に変更し、極限を計算することで広義積分を定義します。

1. 問題の内容

広義積分 $\int_0^1 \frac{2}{\sqrt[3]{x}} dx$ を計算し、空欄を埋める問題です。$\epsilon$ を用いて積分の下限を0から$\epsilon$ に変更し、極限を計算することで広義積分を定義します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$\int \frac{2}{\sqrt[3]{x}} dx = \int 2x^{-1/3} dx = 2 \cdot \frac{x^{2/3}}{2/3} + C = 3x^{2/3} + C$

次に、$\epsilon > 0$ に対して定積分を計算します。

$\int_\epsilon^1 \frac{2}{\sqrt[3]{x}} dx = [3x^{2/3}]_\epsilon^1 = 3(1^{2/3}) - 3(\epsilon^{2/3}) = 3 - 3\epsilon^{2/3}$

最後に、$\epsilon \to +0$ の極限を計算します。

$\lim_{\epsilon \to +0} \int_\epsilon^1 \frac{2}{\sqrt[3]{x}} dx = \lim_{\epsilon \to +0} (3 - 3\epsilon^{2/3}) = 3 - 3(0) = 3$

したがって、

(ア) には $\epsilon$ が入り、

(イ) には 1 が入り、

(ウ) には 3 が入ります。

3. 最終的な答え

(ア): $\epsilon$

(イ): 1

(ウ): 3