以下の定積分の値を求め、途中式にある空欄を埋める問題です。 $\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \lim_{\epsilon \to +0} \int_{\epsilon}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = (\text{ウ})$

1. 問題の内容

以下の定積分の値を求め、途中式にある空欄を埋める問題です。

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \lim_{\epsilon \to +0} \int_{\epsilon}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = (\text{ウ})$

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算します。

$u = 1-x^2$ と置換すると、$du = -2x dx$ となります。

したがって、$x dx = -\frac{1}{2}du$ となります。

置換積分を行うと、

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{u}} du = -\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = -u^{\frac{1}{2}} + C = -\sqrt{1-x^2} + C$

となります。

したがって、定積分の計算は次のようになります。

$\int_{\epsilon}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = [-\sqrt{1-x^2}]_{\epsilon}^{1} = -\sqrt{1-1^2} - (-\sqrt{1-\epsilon^2}) = 0 + \sqrt{1-\epsilon^2} = \sqrt{1-\epsilon^2}$

よって、

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \lim_{\epsilon \to +0} \int_{\epsilon}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \lim_{\epsilon \to +0} \sqrt{1-\epsilon^2} = \sqrt{1-0} = 1$

（イ）に入れるべき積分範囲は、$\epsilon$ から $1$ であるため、

$\int_{\epsilon}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$ となります。

（ア）に入るのは $\epsilon$ です。

3. 最終的な答え

(イ) $\int_{\epsilon}^{1}$

(ア) $\epsilon$

(ウ) $1$