与えられた広義積分 $\int_{-1}^{0} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を、極限を用いて表し、その値を求める問題です。具体的には、積分範囲の下端である $-1$ が特異点となっているため、積分範囲を $[-1+\epsilon, 0]$ とし、$\epsilon \to +0$ の極限をとることで広義積分を計算します。

1. 問題の内容

与えられた広義積分 $\int_{-1}^{0} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を、極限を用いて表し、その値を求める問題です。具体的には、積分範囲の下端である $-1$ が特異点となっているため、積分範囲を $[-1+\epsilon, 0]$ とし、$\epsilon \to +0$ の極限をとることで広義積分を計算します。

2. 解き方の手順

まず、広義積分を極限を用いて書き換えます。

$$\int_{-1}^{0} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \lim_{\epsilon \to +0} \int_{-1+\epsilon}^{0} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$$

積分 $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ は $\arcsin(x) + C$ で計算できます。したがって、

$$\int_{-1+\epsilon}^{0} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \left[ \arcsin(x) \right]_{-1+\epsilon}^{0} = \arcsin(0) - \arcsin(-1+\epsilon)$$

$\arcsin(0) = 0$ であり、$\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$ であることを利用して、

$$\lim_{\epsilon \to +0} \left( 0 - \arcsin(-1+\epsilon) \right) = -\arcsin(-1) = -\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}$$

3. 最終的な答え

(ア) $-1+\epsilon$

(イ) $0$

(ウ) $\frac{\pi}{2}$