$\int_{-1}^{1} \sqrt{\frac{2}{1+x}} dx = \lim_{\epsilon \to +0} \int_{a}^{b} \sqrt{\frac{2}{1+x}} dx$ という式があり、積分範囲の下端 $a$、積分範囲の上端 $b$、および積分の結果を求める問題です。

1. 問題の内容

$\int_{-1}^{1} \sqrt{\frac{2}{1+x}} dx = \lim_{\epsilon \to +0} \int_{a}^{b} \sqrt{\frac{2}{1+x}} dx$ という式があり、積分範囲の下端 $a$、積分範囲の上端 $b$、および積分の結果を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\int_{-1}^{1} \sqrt{\frac{2}{1+x}} dx$ は、$x = -1$ で被積分関数が発散するため、広義積分として計算する必要があります。

$\epsilon > 0$ として、積分区間を $[-1+\epsilon, 1]$ とし、$\epsilon \to 0$ の極限を考えます。

$\int_{-1+\epsilon}^{1} \sqrt{\frac{2}{1+x}} dx = \sqrt{2} \int_{-1+\epsilon}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+x}} dx$

ここで、$u = 1+x$ と置換すると、$du = dx$ であり、積分範囲は $x=-1+\epsilon$ のとき $u = \epsilon$、 $x=1$ のとき $u=2$ となります。

したがって、

$\sqrt{2} \int_{-1+\epsilon}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+x}} dx = \sqrt{2} \int_{\epsilon}^{2} \frac{1}{\sqrt{u}} du = \sqrt{2} [2\sqrt{u}]_{\epsilon}^{2} = 2\sqrt{2} (\sqrt{2} - \sqrt{\epsilon}) = 4 - 2\sqrt{2\epsilon}$

したがって、

$\lim_{\epsilon \to +0} \int_{-1+\epsilon}^{1} \sqrt{\frac{2}{1+x}} dx = \lim_{\epsilon \to +0} (4 - 2\sqrt{2\epsilon}) = 4$

よって、アに入る数字は $-1 + \epsilon$、イに入る数字は $1$、ウに入る数字は $4$ です。

3. 最終的な答え

(ア): $-1 + \epsilon$

(イ): $1$

(ウ): $4$