問題は、広義積分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2} dx$ の値を求めるものです。積分範囲の下端が0であり、被積分関数$\frac{1}{x^2}$ は $x=0$ で定義されないため、広義積分として定義する必要があります。広義積分を極限の形で表し、その値を求めます。

1. 問題の内容

問題は、広義積分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2} dx$ の値を求めるものです。積分範囲の下端が0であり、被積分関数$\frac{1}{x^2}$ は $x=0$ で定義されないため、広義積分として定義する必要があります。広義積分を極限の形で表し、その値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、広義積分を極限の形に書き換えます。積分区間$[0, 1]$の下端が0であるため、$\epsilon > 0$ を用いて積分区間を $[\epsilon, 1]$ とし、$\epsilon \to +0$ の極限を取ります。つまり、

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{\epsilon \to +0} \int_{\epsilon}^{1} \frac{1}{x^2} dx$$

次に、積分 $\int_{\epsilon}^{1} \frac{1}{x^2} dx$ を計算します。$\frac{1}{x^2}$ の原始関数は $-\frac{1}{x}$ であるため、

$$\int_{\epsilon}^{1} \frac{1}{x^2} dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{\epsilon}^{1} = -\frac{1}{1} - \left( -\frac{1}{\epsilon} \right) = -1 + \frac{1}{\epsilon} = \frac{1}{\epsilon} - 1$$

最後に、$\epsilon \to +0$ の極限を計算します。

$$\lim_{\epsilon \to +0} \int_{\epsilon}^{1} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{\epsilon \to +0} \left( \frac{1}{\epsilon} - 1 \right) = \infty$$

したがって、広義積分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2} dx$ は発散します。

(イ): $\frac{1}{\epsilon} - 1$

(ア): $\epsilon$

(ウ): 発散

3. 最終的な答え

(イ): $\frac{1}{\epsilon} - 1$

(ア): $\epsilon$

(ウ): 発散