与えられた定積分 $\int_0^\infty \frac{2}{x^2+4}dx$ を、極限の形で表現し、その値を求める問題です。具体的には、$\lim_{M \to \infty} \int_{(\text{ア})}^{(\text{イ})} \frac{2}{x^2+4}dx = (\text{ウ})$ の (ア)、(イ)、(ウ) に当てはまる式または数を答えます。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_0^\infty \frac{2}{x^2+4}dx$ を、極限の形で表現し、その値を求める問題です。具体的には、$\lim_{M \to \infty} \int_{(\text{ア})}^{(\text{イ})} \frac{2}{x^2+4}dx = (\text{ウ})$ の (ア)、(イ)、(ウ) に当てはまる式または数を答えます。

2. 解き方の手順

まず、$\int_0^\infty \frac{2}{x^2+4}dx$ を $\lim_{M \to \infty} \int_0^M \frac{2}{x^2+4}dx$ と書き換えます。よって、(ア)には 0 が入り、(イ)には M が入ります。

次に、定積分 $\int \frac{2}{x^2+4}dx$ を計算します。

$\int \frac{2}{x^2+4}dx = \int \frac{2}{4(\frac{x^2}{4}+1)}dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{(\frac{x}{2})^2+1}dx$

ここで、$u = \frac{x}{2}$ と置換すると、$du = \frac{1}{2}dx$ より $dx = 2du$ となるので、

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^2+1} 2du = \int \frac{1}{u^2+1}du = \arctan(u) + C = \arctan(\frac{x}{2}) + C$

したがって、$\int_0^M \frac{2}{x^2+4}dx = \left[ \arctan(\frac{x}{2}) \right]_0^M = \arctan(\frac{M}{2}) - \arctan(0) = \arctan(\frac{M}{2})$

最後に、$M \to \infty$ のときの極限を考えます。

$\lim_{M \to \infty} \arctan(\frac{M}{2}) = \frac{\pi}{2}$

よって、(ウ)には $\frac{\pi}{2}$ が入ります。

3. 最終的な答え

(ア): 0

(イ): M

(ウ): $\frac{\pi}{2}$