与えられた定積分を計算し、解答を求めます。

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算し、解答を求めます。

2. 解き方の手順

問題 (1)

$\int_{-2}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$ を計算します。

被積分関数は $y = \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$ であり、$x = 2\sin\theta$ と置換します。

すると、$dx = 2\cos\theta d\theta$ となります。

積分範囲も変わります。

$x = -2$ のとき、$-2 = 2\sin\theta$ より $\sin\theta = -1$ となり、$\theta = -\frac{\pi}{2}$ となります。

$x = \sqrt{3}$ のとき、$\sqrt{3} = 2\sin\theta$ より $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となり、$\theta = \frac{\pi}{3}$ となります。

よって、積分は

$\int_{-\pi/2}^{\pi/3} \frac{1}{\sqrt{4-4\sin^2\theta}} (2\cos\theta) d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/3} \frac{2\cos\theta}{2\sqrt{1-\sin^2\theta}} d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/3} \frac{\cos\theta}{\sqrt{\cos^2\theta}} d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/3} d\theta = \left[ \theta \right]_{-\pi/2}^{\pi/3} = \frac{\pi}{3} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi + 3\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

となります。

問題 (2)

$\int_0^1 \frac{x}{1+x^4}dx$ を計算します。

$u = x^2$ とおくと、$du = 2x dx$ なので、$x dx = \frac{1}{2} du$ となります。

積分範囲も変わります。

$x = 0$ のとき、$u = 0^2 = 0$

$x = 1$ のとき、$u = 1^2 = 1$

よって、積分は

$\int_0^1 \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{1}{1+u^2} du = \frac{1}{2} [\arctan(u)]_0^1 = \frac{1}{2} (\arctan(1) - \arctan(0)) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} - 0 \right) = \frac{\pi}{8}$

となります。

問題 (3)

$\int_1^e \frac{1}{x} (\log x)^2 dx$ を計算します。

$u = \log x$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。

積分範囲も変わります。

$x = 1$ のとき、$u = \log 1 = 0$

$x = e$ のとき、$u = \log e = 1$

よって、積分は

$\int_0^1 u^2 du = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$

となります。

問題 (4)

$\int_1^e x(\log x)^2 dx$ を計算します。

部分積分を行います。

$u = (\log x)^2$, $dv = x dx$ とおくと、$du = 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

$\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$\int_1^e x(\log x)^2 dx = \left[ \frac{x^2}{2} (\log x)^2 \right]_1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2} \cdot 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{e^2}{2} (\log e)^2 - \frac{1^2}{2} (\log 1)^2 - \int_1^e x \log x dx = \frac{e^2}{2} - 0 - \int_1^e x \log x dx$

$\int_1^e x \log x dx$ を計算します。

$u = \log x$, $dv = x dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

$\int_1^e x \log x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \log x \right]_1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{e^2}{2} \log e - \frac{1^2}{2} \log 1 - \int_1^e \frac{x}{2} dx = \frac{e^2}{2} - 0 - \left[ \frac{x^2}{4} \right]_1^e = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4}$

よって、

$\int_1^e x(\log x)^2 dx = \frac{e^2}{2} - \left( \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} \right) = \frac{2e^2}{4} - \frac{e^2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{e^2 - 1}{4}$

問題 (5)

$\int_0^3 x \sqrt{1+x} dx$ を計算します。

$t = \sqrt{1+x}$ とおくと、$t^2 = 1+x$, $x = t^2 - 1$ となります。

$dx = 2t dt$ となります。

積分範囲も変わります。

$x = 0$ のとき、$t = \sqrt{1+0} = 1$

$x = 3$ のとき、$t = \sqrt{1+3} = 2$

よって、積分は

$\int_1^2 (t^2-1) t (2t) dt = 2 \int_1^2 (t^4 - t^2) dt = 2 \left[ \frac{t^5}{5} - \frac{t^3}{3} \right]_1^2 = 2 \left( \frac{2^5}{5} - \frac{2^3}{3} - \frac{1^5}{5} + \frac{1^3}{3} \right) = 2 \left( \frac{32}{5} - \frac{8}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \right) = 2 \left( \frac{31}{5} - \frac{7}{3} \right) = 2 \left( \frac{93 - 35}{15} \right) = 2 \cdot \frac{58}{15} = \frac{116}{15}$

となります。

問題 (6)

$\int_0^1 \log(1+\sqrt{x})dx$ を計算します。

$t = \sqrt{x}$ とおくと、$x = t^2$, $dx = 2t dt$ となります。

積分範囲も変わります。

$x = 0$ のとき、$t = \sqrt{0} = 0$

$x = 1$ のとき、$t = \sqrt{1} = 1$

$\int_0^1 \log(1+t) (2t) dt = 2 \int_0^1 t \log(1+t) dt$

部分積分を行います。

$u = \log(1+t)$, $dv = t dt$ とおくと、$du = \frac{1}{1+t} dt$, $v = \frac{t^2}{2}$ となります。

$2 \int_0^1 t \log(1+t) dt = 2 \left[ \frac{t^2}{2} \log(1+t) \right]_0^1 - 2 \int_0^1 \frac{t^2}{2} \cdot \frac{1}{1+t} dt = \left[ t^2 \log(1+t) \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{t^2}{1+t} dt = (1^2 \log(1+1) - 0^2 \log(1+0)) - \int_0^1 \frac{t^2}{1+t} dt = \log 2 - \int_0^1 \frac{t^2}{1+t} dt$

$\int_0^1 \frac{t^2}{1+t} dt$ を計算します。

$\frac{t^2}{1+t} = \frac{t^2-1+1}{1+t} = \frac{(t-1)(t+1)+1}{1+t} = t-1 + \frac{1}{1+t}$

$\int_0^1 (t-1 + \frac{1}{1+t}) dt = \left[ \frac{t^2}{2} - t + \log(1+t) \right]_0^1 = \left( \frac{1^2}{2} - 1 + \log(1+1) \right) - \left( \frac{0^2}{2} - 0 + \log(1+0) \right) = \frac{1}{2} - 1 + \log 2 - 0 = \log 2 - \frac{1}{2}$

よって、

$2 \int_0^1 t \log(1+t) dt = \log 2 - \left( \log 2 - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}$

問題 (7)

$\int_0^2 x^3 e^{x^2} dx$ を計算します。

$t = x^2$ とおくと、$dt = 2x dx$, $x dx = \frac{1}{2} dt$ となります。

$x^3 e^{x^2} = x^2 e^{x^2} x = t e^t x$ より、$\int x^3 e^{x^2} dx = \int t e^t (\frac{1}{2} dt) = \frac{1}{2} \int t e^t dt$

積分範囲も変わります。

$x = 0$ のとき、$t = 0^2 = 0$

$x = 2$ のとき、$t = 2^2 = 4$

$\frac{1}{2} \int_0^4 t e^t dt$

部分積分を行います。

$u = t$, $dv = e^t dt$ とおくと、$du = dt$, $v = e^t$ となります。

$\frac{1}{2} \int_0^4 t e^t dt = \frac{1}{2} \left[ t e^t \right]_0^4 - \frac{1}{2} \int_0^4 e^t dt = \frac{1}{2} \left( 4 e^4 - 0 e^0 \right) - \frac{1}{2} \left[ e^t \right]_0^4 = 2 e^4 - \frac{1}{2} (e^4 - e^0) = 2 e^4 - \frac{e^4}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3 e^4 + 1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{6} \pi$

(2) $\frac{1}{8} \pi$

(3) $\frac{1}{3}$

(4) $\frac{e^2-1}{4}$

(5) $\frac{116}{15}$

(6) $\frac{1}{2}$

(7) $\frac{3e^4+1}{2}$