与えられた広義積分 $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x} dx$ を計算し、途中式における積分範囲の上端、下端、および積分の最終結果を求める。具体的には、$\lim_{M \to \infty} \int_{(\text{ア})}^{(\text{イ})} \frac{1}{1+x} dx = (\text{ウ})$ の $(\text{ア})$、$(\text{イ})$、$(\text{ウ})$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた広義積分 $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x} dx$ を計算し、途中式における積分範囲の上端、下端、および積分の最終結果を求める。具体的には、$\lim_{M \to \infty} \int_{(\text{ア})}^{(\text{イ})} \frac{1}{1+x} dx = (\text{ウ})$ の $(\text{ア})$、$(\text{イ})$、$(\text{ウ})$ を求める。

2. 解き方の手順

広義積分の定義に従い、積分範囲を有限の値 $M$ で置き換えて計算し、$M \to \infty$ の極限を取る。

まず、不定積分を計算する。

$\int \frac{1}{1+x} dx = \ln|1+x| + C$

次に、定積分を計算する。積分範囲は0からMまでである。

$\int_{0}^{M} \frac{1}{1+x} dx = \left[ \ln|1+x| \right]_{0}^{M} = \ln(1+M) - \ln(1+0) = \ln(1+M) - \ln(1) = \ln(1+M) - 0 = \ln(1+M)$

最後に、$M \to \infty$ の極限を取る。

$\lim_{M \to \infty} \int_{0}^{M} \frac{1}{1+x} dx = \lim_{M \to \infty} \ln(1+M) = \infty$

3. 最終的な答え

$(\text{ア})$ には $0$ が入る。

$(\text{イ})$ には $M$ が入る。

$(\text{ウ})$ には $\infty$ が入る。