実数 $a$, $b$ が与えられている。命題 $r(x)$ を $r(x): x > a \land x > b$ と定義する。このとき、$r(x)$ の否定 $\neg r(x)$ を求める。

1. 問題の内容

実数 $a$, $b$ が与えられている。命題 $r(x)$ を $r(x): x > a \land x > b$ と定義する。このとき、$r(x)$ の否定 $\neg r(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

$r(x)$ は「$x > a$ かつ $x > b$」という命題である。この否定 $\neg r(x)$ は、「$x > a$ かつ $x > b$」ではない、ということである。

論理記号で表すと、$\neg r(x) = \neg (x > a \land x > b)$ となる。

ド・モルガンの法則を用いると、

$\neg (P \land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q$

したがって、

$\neg (x > a \land x > b) \equiv \neg (x > a) \lor \neg (x > b)$

ここで、$\neg (x > a)$ は $x \le a$ であり、$\neg (x > b)$ は $x \le b$ である。

よって、$\neg r(x) \equiv x \le a \lor x \le b$ となる。

これは「$x \le a$ または $x \le b$」という意味である。

3. 最終的な答え

$\neg r(x): x \le a \lor x \le b$