与えられた定積分の問題を解き、空欄を埋めます。問題は以下の通りです。 (7) $\int_{0}^{2} x^{3}e^{x^{2}} dx = \frac{\boxed{?}e^{\boxed{?}} + \boxed{?}}{\boxed{?}}$ (8) $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{4}{(x^{2}-1)^{2}} dx = \log \boxed{?} + \frac{\boxed{?}}{\boxed{?}}$ (9) $\int_{0}^{1} \frac{x^{3}+2x^{2}+4x+1}{(x^{2}+1)(x+1)} dx = \frac{\boxed{?}}{2} \pi + \boxed{?}$ (10) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin^{2}x} dx = \sqrt{\boxed{?}} - \boxed{?}$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた定積分の問題を解き、空欄を埋めます。問題は以下の通りです。

(7) $\int_{0}^{2} x^{3}e^{x^{2}} dx = \frac{\boxed{?}e^{\boxed{?}} + \boxed{?}}{\boxed{?}}$

(8) $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{4}{(x^{2}-1)^{2}} dx = \log \boxed{?} + \frac{\boxed{?}}{\boxed{?}}$

(9) $\int_{0}^{1} \frac{x^{3}+2x^{2}+4x+1}{(x^{2}+1)(x+1)} dx = \frac{\boxed{?}}{2} \pi + \boxed{?}$

(10) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin^{2}x} dx = \sqrt{\boxed{?}} - \boxed{?}$

2. 解き方の手順

(7)

$u = x^2$ と置換すると、$du = 2x dx$ となり、$x^3 e^{x^2} dx = \frac{1}{2} x^2 e^{x^2} (2x dx) = \frac{1}{2} u e^u du$ となります。部分積分を使って、$\int u e^u du = ue^u - \int e^u du = ue^u - e^u + C$。したがって、

$\int_{0}^{2} x^{3}e^{x^{2}} dx = \frac{1}{2} [x^2 e^{x^2} - e^{x^2}]_{0}^{2} = \frac{1}{2} [(4e^4 - e^4) - (0 - 1)] = \frac{1}{2} (3e^4 + 1)$。

よって、$\frac{3e^{4}+1}{2}$。

(8)

$\frac{4}{(x^{2}-1)^{2}} = \frac{4}{(x-1)^{2}(x+1)^{2}} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^{2}} + \frac{C}{x+1} + \frac{D}{(x+1)^{2}}$ と部分分数分解します。

両辺に $(x^{2}-1)^{2}$ をかけると、$4 = A(x-1)(x+1)^{2} + B(x+1)^{2} + C(x+1)(x-1)^{2} + D(x-1)^{2}$。

$x = 1$ のとき $4 = 4B \implies B = 1$。

$x = -1$ のとき $4 = 4D \implies D = 1$。

$x = 0$ のとき $4 = -A + B + C + D = -A + 1 + C + 1 \implies A - C = -2$。

$x = 2$ のとき $4 = 9A + 9B + 3C + D = 9A + 9 + 3C + 1 \implies 9A + 3C = -6 \implies 3A + C = -2$。

$A - C = -2$ と $3A + C = -2$ を解くと、$4A = -4 \implies A = -1$、$C = 1$。

$\int \frac{4}{(x^{2}-1)^{2}} dx = \int (-\frac{1}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^{2}} + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^{2}}) dx = -\log|x-1| - \frac{1}{x-1} + \log|x+1| - \frac{1}{x+1} + C = \log|\frac{x+1}{x-1}| - \frac{2x}{x^{2}-1} + C$。

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{4}{(x^{2}-1)^{2}} dx = [\log|\frac{x+1}{x-1}| - \frac{2x}{x^{2}-1}]_{0}^{\frac{1}{2}} = (\log|\frac{3/2}{-1/2}| - \frac{1}{1/4 - 1}) - (\log|1| - 0) = \log 3 - \frac{1}{-3/4} = \log 3 + \frac{4}{3}$。

(9)

$\frac{x^{3}+2x^{2}+4x+1}{(x^{2}+1)(x+1)} = \frac{Ax+B}{x^{2}+1} + \frac{C}{x+1}$。

$x^{3}+2x^{2}+4x+1 = (Ax+B)(x+1) + C(x^{2}+1) = Ax^{2} + Ax + Bx + B + Cx^{2} + C$。

$x^{3}+2x^{2}+4x+1 = (A+C)x^{2} + (A+B)x + (B+C)$。

$A+C = 2$, $A+B = 4$, $B+C = 1$。

$A+B = 4$ より、$A = 4 - B$。 $B+C = 1$ より、$C = 1 - B$。

$A+C = 2$ より、$4-B+1-B = 2 \implies 5-2B = 2 \implies 2B = 3 \implies B = \frac{3}{2}$。

$A = 4 - \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$、$C = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$。

$\int_{0}^{1} \frac{x^{3}+2x^{2}+4x+1}{(x^{2}+1)(x+1)} dx = \int_{0}^{1} (\frac{5x/2 + 3/2}{x^{2}+1} - \frac{1/2}{x+1}) dx = [\frac{5}{4} \log(x^{2}+1) + \frac{3}{2} \arctan x - \frac{1}{2} \log(x+1)]_{0}^{1} = (\frac{5}{4} \log 2 + \frac{3}{2} \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log 2) - (0) = \frac{3}{4} \log 2 + \frac{3}{8} \pi$。

問題文に与えられた形にするには、 $\frac{3}{8} \pi + \frac{3}{4} \log 2$。

(10)

$\int \frac{1}{\sin^{2}x} dx = -\cot x + C$。

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin^{2}x} dx = [-\cot x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} = -\cot \frac{\pi}{4} + \cot \frac{\pi}{6} = -1 + \sqrt{3} = \sqrt{3} - 1$。

3. 最終的な答え

(7) $\frac{3e^{4}+1}{2}$

(8) $\log 3 + \frac{4}{3}$

(9) $\frac{3}{8} \pi + \frac{3}{4}\log 2$

(10) $\sqrt{3} - 1$