定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x^3 + 2x^2 + 4x + 1}{(x^2 + 1)(x+1)} dx$ を計算し、$\frac{\boxed{ネ}}{\boxed{ノ}}\pi + \boxed{八}$ の形で表すときの $\boxed{ネ}, \boxed{ノ}, \boxed{八}$ に入る値を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x^3 + 2x^2 + 4x + 1}{(x^2 + 1)(x+1)} dx$ を計算し、$\frac{\boxed{ネ}}{\boxed{ノ}}\pi + \boxed{八}$ の形で表すときの $\boxed{ネ}, \boxed{ノ}, \boxed{八}$ に入る値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$$\frac{x^3 + 2x^2 + 4x + 1}{(x^2 + 1)(x+1)} = \frac{Ax + B}{x^2 + 1} + \frac{C}{x+1}$$

両辺に $(x^2+1)(x+1)$ を掛けると、

$$x^3 + 2x^2 + 4x + 1 = (Ax + B)(x+1) + C(x^2+1)$$

$$x^3 + 2x^2 + 4x + 1 = Ax^2 + Ax + Bx + B + Cx^2 + C$$

$$x^3 + 2x^2 + 4x + 1 = x^2(A+C) + x(A+B) + (B+C)$$

係数を比較すると、

$$A+C = 1$$

$$A+B = 4$$

$$B+C = 1$$

$x^3$の係数も比較すると $x^3$ の係数は $1$ なので、左辺の $x^3$ は $1x^3$ なのでこの式は恒等式として考え、$x^3$ の係数は計算しない。

３つの式を解くと、

$A = 3, B = 1, C = -2$

したがって、

$$\frac{x^3 + 2x^2 + 4x + 1}{(x^2 + 1)(x+1)} = \frac{3x + 1}{x^2 + 1} + \frac{-2}{x+1} = \frac{3x}{x^2 + 1} + \frac{1}{x^2 + 1} - \frac{2}{x+1}$$

積分を計算します。

$$\int_{0}^{1} \frac{3x}{x^2 + 1} dx + \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 1} dx - \int_{0}^{1} \frac{2}{x+1} dx$$

それぞれの積分を計算します。

$$\int_{0}^{1} \frac{3x}{x^2 + 1} dx = \frac{3}{2} \int_{0}^{1} \frac{2x}{x^2 + 1} dx = \frac{3}{2} [\ln(x^2 + 1)]_{0}^{1} = \frac{3}{2} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{3}{2} \ln 2$$

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 1} dx = [\arctan x]_{0}^{1} = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$$

$$\int_{0}^{1} \frac{2}{x+1} dx = 2 [\ln(x+1)]_{0}^{1} = 2(\ln 2 - \ln 1) = 2 \ln 2$$

したがって、

$$\int_{0}^{1} \frac{x^3 + 2x^2 + 4x + 1}{(x^2 + 1)(x+1)} dx = \frac{3}{2} \ln 2 + \frac{\pi}{4} - 2 \ln 2 = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2$$

問題文の形式と比較すると、$\frac{\pi}{4} + (-\frac{1}{2}\ln 2)$であり、問題文の形式にあてはまらない。部分分数分解に間違いがあったか、問題文に誤りがあると思われる。

部分分数分解の段階で，恒等式を

$$x^3 + 2x^2 + 4x + 1 = (Ax + B)(x+1) + C(x^2+1)$$

$$x^3 + 2x^2 + 4x + 1 = (Ax+B)(x+1) + C(x^2+1) = Ax^2 + Ax + Bx + B + Cx^2 + C$$

$x^3$の項がないので、$x^3$の項を作る。

$x^3 + 2x^2 + 4x + 1 = (Ax+B)(x+1) + C(x^2+1) + D(x^2+1)(x+1)$

上記ではうまくいかないので、多項式除算をする。

$\frac{x^3 + 2x^2 + 4x + 1}{(x^2 + 1)(x+1)} = \frac{x^3 + 2x^2 + 4x + 1}{x^3 + x^2 + x + 1}$

$= 1 + \frac{x^2 + 3x}{x^3 + x^2 + x + 1} = 1 + \frac{x^2 + 3x}{(x^2 + 1)(x+1)} = 1 + \frac{Ax + B}{x^2 + 1} + \frac{C}{x+1}$

$x^2 + 3x = (Ax + B)(x+1) + C(x^2+1)$

$x^2 + 3x = Ax^2 + Ax + Bx + B + Cx^2 + C$

$x^2 + 3x = x^2(A+C) + x(A+B) + (B+C)$

$A+C = 1$

$A+B = 3$

$B+C = 0$

$A = 2, B = 1, C = -1$

$\frac{x^2 + 3x}{(x^2 + 1)(x+1)} = \frac{2x + 1}{x^2 + 1} + \frac{-1}{x+1} = \frac{2x}{x^2 + 1} + \frac{1}{x^2 + 1} - \frac{1}{x+1}$

$\int_{0}^{1} \frac{2x}{x^2 + 1} dx + \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 1} dx - \int_{0}^{1} \frac{1}{x+1} dx = [\ln(x^2 + 1)]_{0}^{1} + [\arctan x]_{0}^{1} - [\ln(x+1)]_{0}^{1}$

$= \ln 2 + \frac{\pi}{4} - \ln 2 = \frac{\pi}{4}$

元の式は、

$\int_{0}^{1} 1 dx + \int_{0}^{1} \frac{x^2 + 3x}{(x^2 + 1)(x+1)} dx = 1 + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 1$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}\pi + 1$

ネ = 1

ノ = 4

八 = 1