与えられた2つの式を因数分解する問題です。 (1) $4x^2 - y^2 + 2y - 1$ (3) $x^3 + ax^2 - x^2 - a$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解する問題です。

(1) $4x^2 - y^2 + 2y - 1$

(3) $x^3 + ax^2 - x^2 - a$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$4x^2$以外の部分を整理します。

$-(y^2 - 2y + 1) = -(y-1)^2$

よって、式は $4x^2 - (y-1)^2$ となります。

これは、$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の形なので、因数分解できます。

$4x^2 - (y-1)^2 = (2x)^2 - (y-1)^2 = (2x + (y-1))(2x - (y-1))$

$= (2x + y - 1)(2x - y + 1)$

(3)

まず、$x$ の項と $a$ の項をそれぞれまとめます。

$x^3 + ax^2 - x^2 - a = x^2(x+a) - (x^2+a)$

ここで、式をよく見ると、うまく因数分解できるように見えないので、もう一度与えられた式を整理します。

$x^3 + ax^2 - x^2 - a = x^3 - x^2 + ax^2 - a = x^2(x-1) + a(x^2-1)$

$= x^2(x-1) + a(x-1)(x+1)$

$= (x-1)(x^2 + a(x+1))$

$= (x-1)(x^2 + ax + a)$

3. 最終的な答え

(1) $(2x + y - 1)(2x - y + 1)$

(3) $(x-1)(x^2 + ax + a)$