以下の7つの式を因数分解する問題です。 (1) $4x^2 - y^2 + 2y - 1$ (2) $(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12$ (3) $x^3 + ax^2 - x^2 - a$ (4) $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$ (5) $3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$ (6) $(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$ (7) $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$

はい、承知いたしました。画像に写っている数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の7つの式を因数分解する問題です。

(1) $4x^2 - y^2 + 2y - 1$

(2) $(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12$

(3) $x^3 + ax^2 - x^2 - a$

(4) $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$

(5) $3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$

(6) $(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$

(7) $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$

2. 解き方の手順

(1) $4x^2 - y^2 + 2y - 1$

まず、$y$ の項を整理します。

$4x^2 - (y^2 - 2y + 1) = 4x^2 - (y-1)^2$

これは $A^2 - B^2$ の形なので、因数分解できます。

$4x^2 - (y-1)^2 = (2x + (y-1))(2x - (y-1)) = (2x + y - 1)(2x - y + 1)$

(2) $(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12$

$x^2 - x = A$ と置換すると、$A^2 - 8A + 12$ となります。

これは $(A - 2)(A - 6)$ と因数分解できます。

$A$ を元に戻すと、$(x^2 - x - 2)(x^2 - x - 6)$ となります。

さらに因数分解して、

$(x^2 - x - 2) = (x - 2)(x + 1)$

$(x^2 - x - 6) = (x - 3)(x + 2)$

よって、$(x - 2)(x + 1)(x - 3)(x + 2)$

(3) $x^3 + ax^2 - x^2 - a$

$x^2$ の項と定数項をそれぞれまとめます。

$x^2(x + a) - (x^2 + a) = x^2(x+a) - (x^2 + a)$ではありません。

$x^3 - x^2 + ax^2 - a = x^2(x-1) + a(x^2 - 1)$

$x^2(x-1) + a(x-1)(x+1) = (x-1)[x^2+ a(x+1)] = (x-1)(x^2+ax+a)$

もし問題が$x^3 + ax^2 - x - a$ならば、

$x^2(x+a) - (x + a) = (x^2 - 1)(x + a) = (x - 1)(x + 1)(x + a)$

(4) $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$

$6x^2 + 7xy + 2y^2$ を因数分解すると、$(2x+y)(3x+2y)$

$(2x+y)(3x+2y) + x - 2$

$=(2x+y)(3x+2y) + x - 2$

$=(2x+y + 1)(3x+2y + c)$

$6x^2+4xy+3xy+2y^2 + x-2$

$6x^2+4xy + 3xy+2y^2 + x - 2 = (2x+y+1)(3x+2y-2)$

(5) $3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$

$3x^2 + 2xy - y^2$ を因数分解すると、 $(3x - y)(x + y)$

$(3x - y)(x + y) + 7x + 3y + 4$

$=(3x-y + a)(x+y+b)$

$a+3b = 7$

$3a-b = 3$

$10b = 12$

$b= 6/5$

$1/5(15x-5y+10)(x+y-3) = (3x-y+2)(x+y+2) = 3x^2 - xy + 6x + 3xy - y^2 + 2y +6x -2y + 4 = 3x^2+2xy -y^2+6x+4$

$(3x-y+4)(x+y+1)=3x^2+2xy-y^2+7x+3y+4$

(6) $(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$

展開すると $a^2b + abc + ca^2 + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + c^2a - abc$

$= a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 2abc$

$= a^2(b+c) + a(b^2 + 2bc + c^2) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

$= (b+c)[a^2 + a(b+c) + bc]$

$= (b+c)[a^2 + ab + ac + bc]$

$= (b+c)[a(a+b) + c(a+b)]$

$= (b+c)(a+b)(a+c) = (a+b)(b+c)(c+a)$

(7) $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

$= ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

$= ab^2-ba^2+ca^2-ac^2 + bc^2 - cb^2$

$= ab(b-a) + a^2(c-a) - c^2(a-c)+bc(c-a) (b-c)$

$=-a(a-b)(b-c)$

$-(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

(1) $(2x + y - 1)(2x - y + 1)$

(2) $(x - 2)(x + 1)(x - 3)(x + 2)$

(3) $(x-1)(x^2+ax+a)$ あるいは、問題が$x^3 + ax^2 - x - a$なら$(x - 1)(x + 1)(x + a)$

(4) $(2x+y+1)(3x+2y-2)$

(5) $(3x - y + 4)(x + y + 1)$

(6) $(a+b)(b+c)(c+a)$

(7) $-(a-b)(b-c)(c-a)$