$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le 0$ のとき、関数 $y = \cos 2\theta + \sqrt{3} \sin 2\theta - 2\sqrt{3} \cos \theta - 2 \sin \theta$ の最大値と最小値を求める。ただし、$t = \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ とおく。

1. 問題の内容

$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le 0$ のとき、関数 $y = \cos 2\theta + \sqrt{3} \sin 2\theta - 2\sqrt{3} \cos \theta - 2 \sin \theta$ の最大値と最小値を求める。ただし、$t = \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ とおく。

2. 解き方の手順

まず、$t^2$ を $\cos^2 \theta$、$\sin \theta \cos \theta$、$\sin^2 \theta$ で表す。

$t = \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ より

$t^2 = (\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2\sqrt{3} \sin \theta \cos \theta + 3 \cos^2 \theta = 3 \cos^2 \theta + 2\sqrt{3} \sin \theta \cos \theta + \sin^2 \theta$.

よって、ア=3、イ=1、ウ=2、エ=1

次に、$y$ を $t$ で表す。

$y = \cos 2\theta + \sqrt{3} \sin 2\theta - 2\sqrt{3} \cos \theta - 2 \sin \theta = (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) + \sqrt{3} (2 \sin \theta \cos \theta) - 2\sqrt{3} \cos \theta - 2 \sin \theta$

$t^2 = 3 \cos^2 \theta + 2\sqrt{3} \sin \theta \cos \theta + \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta \sqrt{3} + 1 + (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) - 1 = 2 \cos^2 \theta + \cos 2\theta -1$.

一方、

$t = \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$なので、$y = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta + 2 \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta - 2(\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta)$.

ここで、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、$\cos^2 \theta = 1-\sin^2 \theta$

$y = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta + \sqrt{3} \sin 2 \theta - 2t$.

$\cos 2 \theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$.

$\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$.

$t^2 = \sin^2 \theta + 2 \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta + 3 \cos^2 \theta = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \cos^2 \theta + \sqrt{3} \sin 2 \theta = 1 + 2 \cos^2 \theta + \sqrt{3} \sin 2 \theta$.

$y = \cos 2 \theta + \sqrt{3} \sin 2 \theta - 2t$.

$t^2 = (\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2 \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta + 3 \cos^2 \theta$.

ここで、$t = \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 2 (\frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta) = 2 \sin(\theta + \frac{\pi}{3})$.

$\theta = -\frac{\pi}{2}$ のとき、$t = \sin(-\frac{\pi}{2}) + \sqrt{3} \cos(-\frac{\pi}{2}) = -1 + 0 = -1$.

$\theta = 0$ のとき、$t = \sin(0) + \sqrt{3} \cos(0) = 0 + \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

よって、$-1 \le t \le \sqrt{3}$. キク=-1、ケ=3

ここで、$y = t^2 - 4t - 1$ となるから、オ=4、カ=1

$y = (t - 2)^2 - 5$.

$-1 \le t \le \sqrt{3}$ であるから、$t = -1$ のとき、$y = (-1-2)^2 - 5 = 9 - 5 = 4$.

$t = \sqrt{3}$ のとき、$y = (\sqrt{3} - 2)^2 - 5 = 3 - 4 \sqrt{3} + 4 - 5 = 2 - 4 \sqrt{3} \approx -4.928$.

$t = -1$ となるとき、$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = -1$ より、$2 \sin (\theta + \frac{\pi}{3}) = -1$, $\sin (\theta + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.

$\theta + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6}$. $\theta = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2}$.

$t = \sqrt{3}$ となるとき、$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = \sqrt{3}$ より、$2 \sin (\theta + \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$, $\sin (\theta + \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$. $\theta = 0$.

よって、$\theta = -\frac{\pi}{2}$ のとき、最大値4をとる。

$\theta = 0$ のとき、最小値 $2 - 4 \sqrt{3}$ をとる。

3. 最終的な答え

ア=3, イ=1, ウ=2, エ=1

オ=4, カ=1

キク=-1, ケ=3

コサ=-1, シ=2, ス=4

セ=$\sqrt{3}$, ソ=0, タチ=$2-4\sqrt{3}$