100円硬貨5枚と10円硬貨3枚を同時に投げる。 (i) 表の出た硬貨の金額の和の期待値を求める。 (ii) 100円硬貨の表の出た枚数を $X$、10円硬貨の表の出た枚数を $Y$ とするとき、積 $XY$ の期待値を求める。

1. 問題の内容

100円硬貨5枚と10円硬貨3枚を同時に投げる。

(i) 表の出た硬貨の金額の和の期待値を求める。

(ii) 100円硬貨の表の出た枚数を $X$、10円硬貨の表の出た枚数を $Y$ とするとき、積 $XY$ の期待値を求める。

2. 解き方の手順

(i) 100円硬貨が1枚表になる期待値は $100 \times \frac{1}{2} = 50$ 円である。

100円硬貨は5枚あるので、100円硬貨の合計金額の期待値は $50 \times 5 = 250$ 円である。

10円硬貨が1枚表になる期待値は $10 \times \frac{1}{2} = 5$ 円である。

10円硬貨は3枚あるので、10円硬貨の合計金額の期待値は $5 \times 3 = 15$ 円である。

したがって、表の出た硬貨の金額の和の期待値は $250 + 15 = 265$ 円である。

(ii) $X$ は100円硬貨の表の出た枚数であり、1枚の硬貨が表になる確率は $\frac{1}{2}$ である。

したがって、$X$ の期待値 $E(X)$ は $5 \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ である。

$Y$ は10円硬貨の表の出た枚数であり、1枚の硬貨が表になる確率は $\frac{1}{2}$ である。

したがって、$Y$ の期待値 $E(Y)$ は $3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ である。

$X$ と $Y$ は独立な確率変数であるため、$XY$ の期待値 $E(XY)$ は $E(X) \times E(Y)$ で計算できる。

$E(XY) = \frac{5}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{15}{4} = 3.75$

3. 最終的な答え

(i) 265円

(ii) 3.75