数列 $1\cdot3, 2\cdot5, 3\cdot7, 4\cdot9, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $1\cdot3, 2\cdot5, 3\cdot7, 4\cdot9, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

数列の一般項を求める。

第 $k$ 項は $k(2k+1)$ と表せる。

したがって、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} k(2k+1)$

と表せる。

これを計算する。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k^2 + k) = 2\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

したがって、

$S_n = 2\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{n(n+1)}{2}$

$S_n = \frac{2n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(4n+2+3)}{6} = \frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$