$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式・不等式を解く。 (1) $\sin\theta + \cos\theta + 1 = 0$ (2) $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = \sqrt{2}$ (3) $\sqrt{3}\sin\theta \le \cos\theta$

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式・不等式を解く。

(1) $\sin\theta + \cos\theta + 1 = 0$

(2) $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = \sqrt{2}$

(3) $\sqrt{3}\sin\theta \le \cos\theta$

2. 解き方の手順

(1) $\sin\theta + \cos\theta + 1 = 0$ を解く。

$\sin\theta + \cos\theta = -1$

両辺を$\sqrt{2}$で割ると、

$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{5}{4}\pi, \frac{7}{4}\pi$

$\theta = \pi, \frac{3}{2}\pi$

(2) $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = \sqrt{2}$ を解く。

左辺を合成すると、

$2\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = \sqrt{2}$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4}, \frac{3}{4}\pi$

$\theta = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3}, \frac{3}{4}\pi - \frac{\pi}{3}$

$\theta = \frac{3\pi - 4\pi}{12}, \frac{9\pi - 4\pi}{12}$

$\theta = -\frac{\pi}{12}, \frac{5}{12}\pi$

$0 \le \theta < 2\pi$より、$\theta = \frac{5}{12}\pi, \frac{23}{12}\pi$

(3) $\sqrt{3}\sin\theta \le \cos\theta$ を解く。

両辺を$\cos\theta$で割ると、

$\sqrt{3}\tan\theta \le 1$

$\tan\theta \le \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$のとき、$\theta = \frac{\pi}{6}$

$\tan\theta$ が定義できないとき、$\cos\theta = 0$ なので、$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{2}$のとき、$\sqrt{3}\sin(\frac{\pi}{2}) = \sqrt{3} \le 0$ となり不適。

$\theta = \frac{3\pi}{2}$のとき、$\sqrt{3}\sin(\frac{3\pi}{2}) = -\sqrt{3} \le 0$ となり適する。

よって、$\frac{\pi}{6} \le \theta < \frac{\pi}{2}$ または $\frac{\pi}{2} < \theta \le \frac{7}{6}\pi$ または $\theta = \frac{3}{2}\pi$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \pi, \frac{3}{2}\pi$

(2) $\theta = \frac{5}{12}\pi, \frac{23}{12}\pi$

(3) $\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ または $\frac{7\pi}{6} \le \theta \le \frac{3\pi}{2}$

誤植を修正し、正しくは $\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ または $\frac{7\pi}{6} \le \theta < \frac{3\pi}{2}$ または $\theta = \frac{3\pi}{2}$