袋の中に赤球3個、青球2個、白球1個が入っている。この袋から球を1個取り出して色を確認し、元に戻すという試行を5回繰り返す。このとき、赤球が4回以上出る確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤球3個、青球2個、白球1個が入っている。この袋から球を1個取り出して色を確認し、元に戻すという試行を5回繰り返す。このとき、赤球が4回以上出る確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、1回の試行で赤球が出る確率を計算する。

袋の中には合計 $3 + 2 + 1 = 6$ 個の球が入っており、そのうち赤球は3個であるから、赤球が出る確率は $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ である。

次に、5回の試行で赤球が4回以上出る確率を求める。これは、赤球が4回出る確率と5回出る確率の和で表される。

5回の試行で赤球が4回出る確率は、二項分布を用いて計算できる。

確率は

$P(X=4) = \binom{5}{4} (\frac{1}{2})^4 (1-\frac{1}{2})^{5-4} = \binom{5}{4} (\frac{1}{2})^4 (\frac{1}{2})^1 = 5 \times (\frac{1}{2})^5 = \frac{5}{32}$

である。

5回の試行で赤球が5回出る確率は、

$P(X=5) = \binom{5}{5} (\frac{1}{2})^5 (1-\frac{1}{2})^{5-5} = \binom{5}{5} (\frac{1}{2})^5 (\frac{1}{2})^0 = 1 \times (\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32}$

である。

したがって、赤球が4回以上出る確率は、

$P(X \geq 4) = P(X=4) + P(X=5) = \frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{6}{32} = \frac{3}{16}$

となる。

3. 最終的な答え

$\frac{3}{16}$