与えられた3x3行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 3-\lambda & -2 & 1 \\ 2 & -1-\lambda & 1 \\ 2 & 2 & -\lambda \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3x3行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix}

3-\lambda & -2 & 1 \\

2 & -1-\lambda & 1 \\

2 & 2 & -\lambda

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、1行目について余因子展開を行います。

$\begin{aligned}

\begin{vmatrix}

3-\lambda & -2 & 1 \\

2 & -1-\lambda & 1 \\

2 & 2 & -\lambda

\end{vmatrix}

&= (3-\lambda) \begin{vmatrix}

-1-\lambda & 1 \\

2 & -\lambda

\end{vmatrix} - (-2) \begin{vmatrix}

2 & 1 \\

2 & -\lambda

\end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix}

2 & -1-\lambda \\

2 & 2

\end{vmatrix} \\

&= (3-\lambda)((-1-\lambda)(-\lambda) - (1)(2)) + 2((2)(-\lambda) - (1)(2)) + (1)((2)(2) - (-1-\lambda)(2)) \\

&= (3-\lambda)(\lambda + \lambda^2 - 2) + 2(-2\lambda - 2) + (4 + 2 + 2\lambda) \\

&= 3\lambda + 3\lambda^2 - 6 - \lambda^2 - \lambda^3 + 2\lambda - 4\lambda - 4 + 6 + 2\lambda \\

&= -\lambda^3 + 2\lambda^2 + 3\lambda - 4

\end{aligned}$

3. 最終的な答え

行列式は $-\lambda^3 + 2\lambda^2 + 3\lambda - 4$ です。