以下の5つの文が正しいか正しくないかを判断します。正しい場合は〇、誤りを含む場合は×で答えます。 (1) $(\log(5x))' = \frac{1}{x}$ が成り立つ。 (2) 曲線 $c(t) = \begin{bmatrix} 3t-2 \\ t^2+1 \end{bmatrix}$ の $t=1$ における速度ベクトルは $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ である。 (3) ベクトル $a, b \in \mathbb{R}^3$ に対して $b \times a = a \times b$ が成り立つ。 (4) 極限 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}$ は収束しない。 (5) $C^\infty$ 級関数 $f$ が $f(x,y) = 1+2x+3y+4x^2+5xy+6y^2+o(x^2+y^2)$ $((x,y) \to (0,0))$ を満たすとき、$f_{xx}(0,0) = 4$ である。

1. 問題の内容

以下の5つの文が正しいか正しくないかを判断します。正しい場合は〇、誤りを含む場合は×で答えます。

(1) $(\log(5x))' = \frac{1}{x}$ が成り立つ。

(2) 曲線 $c(t) = \begin{bmatrix} 3t-2 \\ t^2+1 \end{bmatrix}$ の $t=1$ における速度ベクトルは $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ である。

(3) ベクトル $a, b \in \mathbb{R}^3$ に対して $b \times a = a \times b$ が成り立つ。

(4) 極限 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}$ は収束しない。

(5) $C^\infty$ 級関数 $f$ が $f(x,y) = 1+2x+3y+4x^2+5xy+6y^2+o(x^2+y^2)$ $((x,y) \to (0,0))$ を満たすとき、$f_{xx}(0,0) = 4$ である。

2. 解き方の手順

(1) $(\log(5x))' = \frac{1}{5x} \cdot 5 = \frac{1}{x}$ なので、これは正しいです。

(2) $c'(t) = \begin{bmatrix} 3 \\ 2t \end{bmatrix}$ であり、$c'(1) = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}$ なので、これは誤りです。

(3) ベクトル積は $b \times a = - (a \times b)$ を満たすので、 $b \times a = a \times b$ が成り立つのは $a \times b = 0$ のときのみです。一般には成り立たないので、これは誤りです。

(4) $y = x^2$ に沿って $(x,y) \to (0,0)$ とすると、$\frac{x^2 y}{x^4 + y^2} = \frac{x^4}{x^4 + x^4} = \frac{1}{2}$ となります。

$y = 0$ に沿って $(x,y) \to (0,0)$ とすると、$\frac{x^2 y}{x^4 + y^2} = \frac{0}{x^4} = 0$ となります。

異なる経路で異なる値に近づくため、この極限は存在しない（収束しない）ので、これは正しいです。

(5) $f(x,y) = 1+2x+3y+4x^2+5xy+6y^2+o(x^2+y^2)$ より、

$f_x(x,y) = 2 + 8x + 5y + o(\sqrt{x^2+y^2})$

$f_{xx}(x,y) = 8 + o(1)$

従って、$f_{xx}(0,0) = 8$ となります。よって、これは誤りです。

3. 最終的な答え

(1) 〇

(2) ×

(3) ×

(4) 〇

(5) ×