画像に記載されている2つの三角関数の問題について、それぞれ解く必要があります。 (2) $sin\theta + \sqrt{3}cos\theta = \sqrt{2}$ (3) $\sqrt{3}sin\theta \leq cos\theta$

1. 問題の内容

画像に記載されている2つの三角関数の問題について、それぞれ解く必要があります。

(2) $sin\theta + \sqrt{3}cos\theta = \sqrt{2}$

(3) $\sqrt{3}sin\theta \leq cos\theta$

2. 解き方の手順

(2) $sin\theta + \sqrt{3}cos\theta = \sqrt{2}$ を解きます。

まず、左辺を合成します。

$sin\theta + \sqrt{3}cos\theta = 2sin(\theta + \frac{\pi}{3})$

したがって、$2sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = \sqrt{2}$となります。

両辺を2で割ると、

$sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + 2n\pi$ または $\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi$ (nは整数)

$\theta = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2n\pi$ または $\theta = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2n\pi$

$\theta = -\frac{\pi}{12} + 2n\pi$ または $\theta = \frac{5\pi}{12} + 2n\pi$

(3) $\sqrt{3}sin\theta \leq cos\theta$ を解きます。

両辺を$cos\theta$で割ることを考えますが、$cos\theta$の符号によって不等号の向きが変わることに注意が必要です。

まず、$cos\theta = 0$のとき、$\sqrt{3}sin\theta \leq 0$となり、$sin\theta = \pm 1$なので、$\theta = \frac{3\pi}{2}$のときに不等式を満たします。

次に、$cos\theta \neq 0$の場合を考えます。両辺を$cos\theta$で割ります。

$\sqrt{3}tan\theta \leq 1$

$tan\theta \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$

$tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$となるのは$\theta = \frac{\pi}{6}$です。

したがって、$-\frac{\pi}{2} < \theta \leq \frac{\pi}{6}$ または $\frac{\pi}{2} < \theta \leq \frac{7\pi}{6}$

$cos\theta = 0$の場合も考慮すると、

$-\frac{\pi}{2} < \theta \leq \frac{\pi}{6}$ または $\frac{\pi}{2} < \theta \leq \frac{7\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(2) $\theta = -\frac{\pi}{12} + 2n\pi$ または $\theta = \frac{5\pi}{12} + 2n\pi$ (nは整数)

(3) $-\frac{\pi}{2} < \theta \leq \frac{\pi}{6}$ または $\frac{\pi}{2} < \theta \leq \frac{7\pi}{6}$