(1) $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = \sqrt{2}$ を解け。 (2) $\sqrt{3} \sin \theta \le \cos \theta$ を解け。

1. 問題の内容

(1) $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = \sqrt{2}$ を解け。

(2) $\sqrt{3} \sin \theta \le \cos \theta$ を解け。

2. 解き方の手順

(1) 合成関数の公式を用いて、$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ を変形する。

$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 2 \sin(\theta + \frac{\pi}{3})$

したがって、与えられた方程式は次のようになる。

$2 \sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = \sqrt{2}$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + 2n\pi$ または $\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi$ (nは整数)

$\theta = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2n\pi$ または $\theta = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2n\pi$

$\theta = -\frac{\pi}{12} + 2n\pi$ または $\theta = \frac{5\pi}{12} + 2n\pi$

(2) $\sqrt{3} \sin \theta \le \cos \theta$

両辺を$\cos \theta$で割ることを考える。しかし、$\cos \theta$の符号によって不等号の向きが変わるため、場合分けが必要となる。

(i) $\cos \theta > 0$ のとき

$\sqrt{3} \tan \theta \le 1$

$\tan \theta \le \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\cos \theta > 0$を満たす範囲は $-\frac{\pi}{2} + 2n\pi < \theta < \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ (nは整数)であり、

$\tan \theta \le \frac{1}{\sqrt{3}}$を満たす範囲は $\theta \le \frac{\pi}{6} + n\pi$ (nは整数)である。

これらの共通範囲は$-\frac{\pi}{2} + 2n\pi < \theta \le \frac{\pi}{6} + 2n\pi$ (nは整数)

(ii) $\cos \theta < 0$ のとき

$\sqrt{3} \tan \theta \ge 1$

$\tan \theta \ge \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\cos \theta < 0$を満たす範囲は $\frac{\pi}{2} + 2n\pi < \theta < \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ (nは整数)であり、

$\tan \theta \ge \frac{1}{\sqrt{3}}$を満たす範囲は $\theta \ge \frac{\pi}{6} + n\pi$ (nは整数)である。

これらの共通範囲は$\frac{\pi}{2} + 2n\pi < \theta < \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ (nは整数) と $\frac{\pi}{6} + \pi + 2n\pi \le \theta < \frac{\pi}{2} + \pi + 2n\pi$であるから、

$\frac{7\pi}{6} + 2n\pi \le \theta < \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ (nは整数)

(iii) $\cos \theta = 0$ のとき

$\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi$ (nは整数)

このとき、$\sin \theta = \pm 1$ であるため、$\sqrt{3} \sin \theta = \pm \sqrt{3}$ となる。

$\theta = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ のとき $\sqrt{3} \sin \theta = \sqrt{3} > 0 = \cos \theta$なので、$\sqrt{3} \sin \theta \le \cos \theta$ は成り立たない。

$\theta = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ のとき $\sqrt{3} \sin \theta = -\sqrt{3} < 0 = \cos \theta$なので、$\sqrt{3} \sin \theta \le \cos \theta$ は成り立つ。

以上より、(i),(ii),(iii) を合わせると、

$-\frac{\pi}{2} + 2n\pi < \theta \le \frac{\pi}{6} + 2n\pi$ および $\frac{7\pi}{6} + 2n\pi \le \theta \le \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$となる.

$0 \le \theta < 2\pi$ で考えると, $-\frac{\pi}{2} < \theta \le \frac{\pi}{6}$ と $\frac{7\pi}{6} \le \theta \le \frac{3\pi}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = -\frac{\pi}{12} + 2n\pi$ または $\theta = \frac{5\pi}{12} + 2n\pi$ (nは整数)

(2) $-\frac{\pi}{2} + 2n\pi < \theta \le \frac{\pi}{6} + 2n\pi$ および $\frac{7\pi}{6} + 2n\pi \le \theta \le \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ (nは整数)

または

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲では、$-\frac{\pi}{2} < \theta \le \frac{\pi}{6}$ と $\frac{7\pi}{6} \le \theta \le \frac{3\pi}{2}$