座標平面上に直線 $l: y=mx-4m$ と放物線 $C: y=\frac{1}{4}x^2$ がある。 (1) $l$ は $m$ の値にかかわらず、ある定点を通る。この点の座標を求めよ。 (2) $m$ のとりうる値の範囲を求めよ。 (3) 線分PQの中点をMとする。点Mの軌跡を求め、座標平面上に図示せよ。

1. 問題の内容

座標平面上に直線 $l: y=mx-4m$ と放物線 $C: y=\frac{1}{4}x^2$ がある。

(1) $l$ は $m$ の値にかかわらず、ある定点を通る。この点の座標を求めよ。

(2) $m$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(3) 線分PQの中点をMとする。点Mの軌跡を求め、座標平面上に図示せよ。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ の式 $y = mx - 4m$ を $m$ について整理すると $m(x-4) - y = 0$ となる。

$m$ の値にかかわらずこの式が成り立つためには、$x-4 = 0$ かつ $y = 0$ でなければならない。

したがって、$x = 4$ かつ $y = 0$ となる。

(2) 直線 $l$ と放物線 $C$ の交点の $x$ 座標は、連立方程式

$y = mx - 4m$

$y = \frac{1}{4}x^2$

を解いて得られる。

$\frac{1}{4}x^2 = mx - 4m$ より、$x^2 - 4mx + 16m = 0$。

直線 $l$ と放物線 $C$ が異なる2点で交わるための条件は、この2次方程式が異なる2つの実数解を持つことである。

判別式を $D$ とすると、$D > 0$ が必要となる。

$D = (-4m)^2 - 4(16m) = 16m^2 - 64m = 16m(m-4) > 0$

よって、$m < 0$ または $m > 4$。

(3) 交点P, Qの $x$ 座標を $x_1$, $x_2$ とすると、Mの $x$ 座標は $\frac{x_1 + x_2}{2}$ である。

$x^2 - 4mx + 16m = 0$ の解と係数の関係より、$x_1 + x_2 = 4m$。

したがって、Mの $x$ 座標を $X$ とすると、$X = \frac{4m}{2} = 2m$。

$y = mx - 4m$ に $x = 2m$ を代入すると、$Y = m(2m) - 4m = 2m^2 - 4m$。

$X = 2m$ より $m = \frac{X}{2}$。これを $Y = 2m^2 - 4m$ に代入すると、

$Y = 2(\frac{X}{2})^2 - 4(\frac{X}{2}) = \frac{1}{2}X^2 - 2X$

$Y = \frac{1}{2}(X^2 - 4X) = \frac{1}{2}((X-2)^2 - 4) = \frac{1}{2}(X-2)^2 - 2$

したがって、Mの軌跡は放物線 $y = \frac{1}{2}(x-2)^2 - 2$。

(2) より、$m < 0$ または $m > 4$ なので、$X = 2m$ より、$X < 0$ または $X > 8$。

よって、求める軌跡は放物線 $y = \frac{1}{2}(x-2)^2 - 2$ の $x < 0$ または $x > 8$ の部分。

3. 最終的な答え

(1) (4, 0)

(2) $m < 0$ または $m > 4$

(3) 放物線 $y = \frac{1}{2}(x-2)^2 - 2$ の $x < 0$ または $x > 8$ の部分