赤球2個、青球6個が入った袋から球を1個取り出し、色を確認して元に戻すという試行を4回繰り返す。このとき、赤球が3回以上出る確率を求めよ。

1. 問題の内容

赤球2個、青球6個が入った袋から球を1個取り出し、色を確認して元に戻すという試行を4回繰り返す。このとき、赤球が3回以上出る確率を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は反復試行の確率の問題です。

まず、1回の試行で赤球が出る確率を求めます。

袋の中には赤球2個、青球6個が入っているので、全部で8個の球が入っています。

したがって、1回の試行で赤球が出る確率は $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ です。

赤球が出ない確率（青球が出る確率）は $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ です。

次に、4回の試行で赤球が3回以上出る確率を求めます。

これは、赤球が3回出る確率と、赤球が4回出る確率の和で求められます。

(1) 赤球が3回出る確率

4回の試行のうち、3回が赤球、1回が青球となる確率を計算します。

これは二項分布で計算できます。

${}_4 C_3 \times (\frac{1}{4})^3 \times (\frac{3}{4})^1 = 4 \times \frac{1}{64} \times \frac{3}{4} = \frac{12}{256} = \frac{3}{64}$

(2) 赤球が4回出る確率

4回の試行全てで赤球が出る確率を計算します。

$(\frac{1}{4})^4 = \frac{1}{256}$

(3) 赤球が3回以上出る確率

上記(1)と(2)で求めた確率を足し合わせます。

$\frac{3}{64} + \frac{1}{256} = \frac{12}{256} + \frac{1}{256} = \frac{13}{256}$

3. 最終的な答え

$\frac{13}{256}$