$x^2 - 6x + 10 = (x - 3)^2 + 1$

##

1. 問題の内容

次の5つの不定積分を計算します。

(1) $\int \frac{1}{x^2 - 6x + 10} dx$

(2) $\int \frac{\sin x}{\cos^2 x + 1} dx$

(3) $\int (x^2 + 1) \cos 3x dx$

(4) $\int \frac{1}{(x-2)(x^2+1)} dx$

(5) $\int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} dx$

##

2. 解き方の手順

**(1) $\int \frac{1}{x^2 - 6x + 10} dx$**

1. 分母を平方完成します。

$x^2 - 6x + 10 = (x - 3)^2 + 1$

2. 積分を書き換えます。

$\int \frac{1}{(x - 3)^2 + 1} dx$

3. $u = x - 3$ と置換すると、$du = dx$。

$\int \frac{1}{u^2 + 1} du$

4. $\arctan$ の積分公式を利用します。

$\int \frac{1}{u^2 + 1} du = \arctan u + C$

5. $u$ を $x$ に戻します。

$\arctan (x - 3) + C$

**(2) $\int \frac{\sin x}{\cos^2 x + 1} dx$**

1. $u = \cos x$ と置換すると、$du = -\sin x dx$。

$-\int \frac{1}{u^2 + 1} du$

2. $\arctan$ の積分公式を利用します。

$-\int \frac{1}{u^2 + 1} du = -\arctan u + C$

3. $u$ を $x$ に戻します。

$-\arctan (\cos x) + C$

**(3) $\int (x^2 + 1) \cos 3x dx$**

1. 部分積分を2回行います。まず、$u = x^2 + 1$、$dv = \cos 3x dx$ とすると、$du = 2x dx$、$v = \frac{1}{3} \sin 3x$。

$\int (x^2 + 1) \cos 3x dx = \frac{1}{3} (x^2 + 1) \sin 3x - \int \frac{2}{3} x \sin 3x dx$

2. 次に、$\int \frac{2}{3} x \sin 3x dx$ を部分積分します。$u = \frac{2}{3} x$、$dv = \sin 3x dx$ とすると、$du = \frac{2}{3} dx$、$v = -\frac{1}{3} \cos 3x$。

$\int \frac{2}{3} x \sin 3x dx = -\frac{2}{9} x \cos 3x + \int \frac{2}{9} \cos 3x dx = -\frac{2}{9} x \cos 3x + \frac{2}{27} \sin 3x + C$

3. 元の積分に戻すと、

$\int (x^2 + 1) \cos 3x dx = \frac{1}{3} (x^2 + 1) \sin 3x + \frac{2}{9} x \cos 3x - \frac{2}{27} \sin 3x + C$

$= \frac{1}{3} x^2 \sin 3x + \frac{1}{3} \sin 3x + \frac{2}{9} x \cos 3x - \frac{2}{27} \sin 3x + C$

$= \frac{1}{3} x^2 \sin 3x + \frac{2}{9} x \cos 3x + \frac{7}{27} \sin 3x + C$

**(4) $\int \frac{1}{(x-2)(x^2+1)} dx$**

1. 部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(x-2)(x^2+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$

$1 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x-2)$

$1 = Ax^2 + A + Bx^2 - 2Bx + Cx - 2C$

$1 = (A+B)x^2 + (-2B+C)x + (A-2C)$

係数を比較すると、

$A+B = 0$、$-2B+C = 0$、$A-2C = 1$

これらを解くと、$A = \frac{1}{5}$、$B = -\frac{1}{5}$、$C = -\frac{2}{5}$。

2. 積分を書き換えます。

$\int \frac{1}{(x-2)(x^2+1)} dx = \int \left(\frac{1/5}{x-2} + \frac{-x/5 - 2/5}{x^2+1}\right) dx$

$= \frac{1}{5} \int \frac{1}{x-2} dx - \frac{1}{5} \int \frac{x}{x^2+1} dx - \frac{2}{5} \int \frac{1}{x^2+1} dx$

3. それぞれの積分を計算します。

$\int \frac{1}{x-2} dx = \ln |x-2| + C_1$

$\int \frac{x}{x^2+1} dx = \frac{1}{2} \ln (x^2+1) + C_2$

$\int \frac{1}{x^2+1} dx = \arctan x + C_3$

4. 結果をまとめます。

$\frac{1}{5} \ln |x-2| - \frac{1}{10} \ln (x^2+1) - \frac{2}{5} \arctan x + C$

**(5) $\int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} dx$**

1. 半角の公式を利用します。$\cos x = 2\cos^2 \frac{x}{2} - 1$ と $\sin x = 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$ を用います。

$\int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} dx = \int \frac{1 + 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{1 + 2\cos^2 \frac{x}{2} - 1} dx = \int \frac{1 + 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{2\cos^2 \frac{x}{2}} dx$

2. 式を整理します。

$\int \frac{1}{2\cos^2 \frac{x}{2}} dx + \int \frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{2\cos^2 \frac{x}{2}} dx = \frac{1}{2} \int \sec^2 \frac{x}{2} dx + \int \tan \frac{x}{2} dx$

3. 積分を計算します。

$\frac{1}{2} \int \sec^2 \frac{x}{2} dx = \tan \frac{x}{2} + C_1$

$\int \tan \frac{x}{2} dx = -2 \ln |\cos \frac{x}{2}| + C_2$

4. 結果をまとめます。

$\tan \frac{x}{2} - 2 \ln |\cos \frac{x}{2}| + C$

##

3. 最終的な答え

(1) $\arctan (x - 3) + C$

(2) $-\arctan (\cos x) + C$

(3) $\frac{1}{3} x^2 \sin 3x + \frac{2}{9} x \cos 3x + \frac{7}{27} \sin 3x + C$

(4) $\frac{1}{5} \ln |x-2| - \frac{1}{10} \ln (x^2+1) - \frac{2}{5} \arctan x + C$

(5) $\tan \frac{x}{2} - 2 \ln |\cos \frac{x}{2}| + C$