次の6つの式を計算する問題です。 (1) $\sqrt{2}(3\sqrt{2} - \sqrt{6})$ (2) $(2+5\sqrt{2})(1+2\sqrt{2})$ (3) $(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2$ (4) $(\sqrt{5}-2\sqrt{3})^2$ (5) $(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})$ (6) $(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の6つの式を計算する問題です。

(1) $\sqrt{2}(3\sqrt{2} - \sqrt{6})$

(2) $(2+5\sqrt{2})(1+2\sqrt{2})$

(3) $(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2$

(4) $(\sqrt{5}-2\sqrt{3})^2$

(5) $(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})$

(6) $(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{2}(3\sqrt{2} - \sqrt{6})$

分配法則を用いて展開します。

$\sqrt{2} \times 3\sqrt{2} - \sqrt{2} \times \sqrt{6}$

$= 3 \times 2 - \sqrt{12}$

$= 6 - 2\sqrt{3}$

(2) $(2+5\sqrt{2})(1+2\sqrt{2})$

分配法則を用いて展開します。

$2 \times 1 + 2 \times 2\sqrt{2} + 5\sqrt{2} \times 1 + 5\sqrt{2} \times 2\sqrt{2}$

$= 2 + 4\sqrt{2} + 5\sqrt{2} + 10 \times 2$

$= 2 + 9\sqrt{2} + 20$

$= 22 + 9\sqrt{2}$

(3) $(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2$

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$の公式を用います。

$(\sqrt{6})^2 + 2\sqrt{6}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2$

$= 6 + 2\sqrt{12} + 2$

$= 8 + 2 \times 2\sqrt{3}$

$= 8 + 4\sqrt{3}$

(4) $(\sqrt{5}-2\sqrt{3})^2$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$の公式を用います。

$(\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}(2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3})^2$

$= 5 - 4\sqrt{15} + 4 \times 3$

$= 5 - 4\sqrt{15} + 12$

$= 17 - 4\sqrt{15}$

(5) $(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})$

$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$の公式を用います。

$(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2$

$= 7 - 3$

$= 4$

(6) $(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)$

$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$の公式を用います。

$(\sqrt{3})^2 - (1)^2$

$= 3 - 1$

$= 2$

3. 最終的な答え

(1) $6 - 2\sqrt{3}$

(2) $22 + 9\sqrt{2}$

(3) $8 + 4\sqrt{3}$

(4) $17 - 4\sqrt{15}$

(5) $4$

(6) $2$