数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 3$ と漸化式 $a_{n+1} = a_n + 4^n$ で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 3$ と漸化式 $a_{n+1} = a_n + 4^n$ で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この漸化式は階差数列の形をしているので、階差数列を利用して一般項を求めます。

まず、$a_{n+1} - a_n = 4^n$ であることがわかります。

これは数列 $\{a_n\}$ の階差数列が $\{4^n\}$ であることを意味します。

したがって、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 4^k$

となります。ここで、等比数列の和の公式を用いて、

$\sum_{k=1}^{n-1} 4^k = \frac{4(4^{n-1} - 1)}{4 - 1} = \frac{4(4^{n-1} - 1)}{3} = \frac{4^n - 4}{3}$

したがって、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = 3 + \frac{4^n - 4}{3} = \frac{9 + 4^n - 4}{3} = \frac{4^n + 5}{3}$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{4^1 + 5}{3} = \frac{9}{3} = 3$ となり、$a_1 = 3$ と一致します。

したがって、すべての $n \ge 1$ に対して、$a_n = \frac{4^n + 5}{3}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{4^n + 5}{3}$