$a, b$ は実数、$n$ は自然数とする。次の命題の真偽を判定する。 (1) $a = 0 \Longrightarrow ab = 0$ (3) $n$ は偶数 $\Longrightarrow$ $n+2$ は4の倍数

1. 問題の内容

$a, b$ は実数、$n$ は自然数とする。次の命題の真偽を判定する。

(1) $a = 0 \Longrightarrow ab = 0$

(3) $n$ は偶数 $\Longrightarrow$ $n+2$ は4の倍数

2. 解き方の手順

(1) $a=0$ のとき、$ab = 0 \cdot b = 0$ である。したがって、命題は真である。

(3) $n$ が偶数であるとき、$n = 2k$ ($k$は自然数) と表せる。このとき、$n+2 = 2k+2 = 2(k+1)$ となる。

$n+2$ が4の倍数であるためには、$2(k+1)$ が4の倍数である必要がある。つまり、$k+1$ が2の倍数でなければならない。

例えば、$n=2$ のとき、$n+2 = 4$ となり、4の倍数になる。しかし、$n=6$ のとき、$n+2 = 8$ となり、4の倍数になる。しかし、$n=10$ のとき、$n+2 = 12$ となり、4の倍数になる。しかし、$n=4$ のとき、$n+2 = 6$ となり、4の倍数にならない。

したがって、この命題は偽である。反例は $n=6$など。

3. 最終的な答え

(1) 真

(3) 偽