$a$, $b$は実数、$n$は自然数とします。次の4つの命題の真偽を調べます。 (1) $a=0 \implies ab=0$ (2) $a^2=2a \implies a=2$ (3) $n$は偶数 $\implies n+2$は4の倍数 (4) $ac=bc \implies a=b$

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

$a$, $b$は実数、$n$は自然数とします。次の4つの命題の真偽を調べます。

(1) $a=0 \implies ab=0$

(2) $a^2=2a \implies a=2$

(3) $n$は偶数 $\implies n+2$は4の倍数

(4) $ac=bc \implies a=b$

2. 解き方の手順

各命題について、真であるか偽であるかを判断し、偽である場合は反例を挙げます。

(1) $a=0 \implies ab=0$

$a=0$のとき、$ab = 0 \times b = 0$なので、常に$ab=0$が成り立ちます。したがって、この命題は真です。

(2) $a^2=2a \implies a=2$

$a^2 = 2a$を$a^2 - 2a = 0$と変形します。

$a(a-2) = 0$

よって、$a=0$または$a=2$となります。

$a=0$のとき、$a=2$とは限りません。したがって、この命題は偽です。

反例：$a=0$

(3) $n$は偶数 $\implies n+2$は4の倍数

$n$が偶数なので、$n=2k$（$k$は自然数）と表せます。

このとき、$n+2 = 2k + 2 = 2(k+1)$となります。

$n+2$が4の倍数となるためには、$2(k+1)$が4の倍数である必要があります。

つまり、$k+1$が偶数である必要があります。

しかし、$k$が奇数の場合、$k+1$は偶数になりますが、$k$が偶数の場合、$k+1$は奇数になります。

したがって、常に$n+2$が4の倍数とは限りません。この命題は偽です。

反例：$n=2$（偶数）のとき、$n+2 = 4$（4の倍数）ですが、$n=4$（偶数）のとき、$n+2 = 6$（4の倍数ではない）。

(4) $ac=bc \implies a=b$

$ac=bc$を$ac - bc = 0$と変形します。

$c(a-b) = 0$

よって、$c=0$または$a-b=0$となります。

$c=0$のとき、$a=b$とは限りません。したがって、この命題は偽です。

反例：$a=1$, $b=2$, $c=0$とすると、$ac = 1 \times 0 = 0$, $bc = 2 \times 0 = 0$となり、$ac = bc$ですが、$a \neq b$です。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 偽

(3) 偽

(4) 偽