与えられた6つの数について、分母を有理化する問題です。

1. 問題の内容

与えられた6つの数について、分母を有理化する問題です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するには、分母に共役な複素数または共役な無理数を掛けます。つまり、$a + b$ の共役は $a - b$ で、$a - b$ の共役は $a + b$ です。

(1) $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ の分母を有理化します。

分母の共役は $\sqrt{7} - \sqrt{5}$ なので、分子と分母に $\sqrt{7} - \sqrt{5}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{7 - 5} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$

(2) $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ の分母を有理化します。

分母の共役は $\sqrt{3} - 1$ なので、分子と分母に $\sqrt{3} - 1$ を掛けます。

$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2}{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{2} = \sqrt{3} - 1$

(3) $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ の分母を有理化します。

分母の共役は $2 + \sqrt{3}$ なので、分子と分母に $2 + \sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = \frac{2 + \sqrt{3}}{1} = 2 + \sqrt{3}$

(4) $\frac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ の分母を有理化します。

分母の共役は $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ なので、分子と分母に $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ を掛けます。

$\frac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{4(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{4(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

(5) $\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$ の分母を有理化します。

分母の共役は $\sqrt{7} + \sqrt{3}$ なので、分子と分母に $\sqrt{7} + \sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{7 + 2\sqrt{7}\sqrt{3} + 3}{7 - 3} = \frac{10 + 2\sqrt{21}}{4} = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}$

(6) $\frac{\sqrt{2} - 3}{\sqrt{2} + 1}$ の分母を有理化します。

分母の共役は $\sqrt{2} - 1$ なので、分子と分母に $\sqrt{2} - 1$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{2} - 3}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 3}{\sqrt{2} + 1} \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{(\sqrt{2} - 3)(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2 - \sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 3}{2 - 1} = \frac{5 - 4\sqrt{2}}{1} = 5 - 4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$

(2) $\sqrt{3} - 1$

(3) $2 + \sqrt{3}$

(4) $\sqrt{6} + \sqrt{2}$

(5) $\frac{5 + \sqrt{21}}{2}$

(6) $5 - 4\sqrt{2}$