与えられた3つの命題の真偽を判定し、偽の場合は反例を挙げ、真の場合はそのことを示します。 (1) 実数 $a$, $b$ について、$a < 1$, $b < 1$ ならば $ab < 1$ (2) 実数 $x$ について、$|x| > 2$ ならば $x > 2$ (3) 実数 $x$ について、$|x + 2| < 1$ ならば $|x| < 3$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた3つの命題の真偽を判定し、偽の場合は反例を挙げ、真の場合はそのことを示します。

(1) 実数 $a$, $b$ について、$a < 1$, $b < 1$ ならば $ab < 1$

(2) 実数 $x$ について、$|x| > 2$ ならば $x > 2$

(3) 実数 $x$ について、$|x + 2| < 1$ ならば $|x| < 3$

2. 解き方の手順

(1) 実数 $a$, $b$ について、$a < 1$, $b < 1$ ならば $ab < 1$

反例を探します。$a = -2$, $b = -2$ とすると、$a < 1$ かつ $b < 1$ を満たしますが、$ab = (-2)(-2) = 4 > 1$ となり、$ab < 1$ を満たしません。したがって、この命題は偽です。

(2) 実数 $x$ について、$|x| > 2$ ならば $x > 2$

反例を探します。$x = -3$ とすると、$|x| = |-3| = 3 > 2$ を満たしますが、$x = -3 < 2$ となり、$x > 2$ を満たしません。したがって、この命題は偽です。

(3) 実数 $x$ について、$|x + 2| < 1$ ならば $|x| < 3$

$|x + 2| < 1$ は $-1 < x + 2 < 1$ と同値です。各辺から2を引くと、$-3 < x < -1$ となります。

$-3 < x < -1$ のとき、$|x| < 3$ が成り立つことを示します。

$|x| < 3$ は $-3 < x < 3$ と同値です。$-3 < x < -1$ ならば $-3 < x < 3$ は常に成り立つので、この命題は真です。

3. 最終的な答え

(1) 偽（反例：$a = -2$, $b = -2$）

(2) 偽（反例：$x = -3$）

(3) 真