次の不等式のうち、$x > 0$ で常に成立するものを選びなさい。 1. $4+3x > \sqrt{18+15x}$

1. 問題の内容

次の不等式のうち、$x > 0$ で常に成立するものを選びなさい。

1. $4+3x > \sqrt{18+15x}$

2. $3+x > \sqrt{9+6x}$

3. $2+x > \sqrt{9+14x}$

4. $2+x > \sqrt{9+6x}$

5. $3+x > \sqrt{9+7x}$

2. 解き方の手順

不等式の両辺が正であることを確認し、両辺を2乗して考察します。

1. $4+3x > \sqrt{18+15x}$ の場合：

両辺を2乗すると、

$(4+3x)^2 > 18+15x$

$16 + 24x + 9x^2 > 18 + 15x$

$9x^2 + 9x - 2 > 0$

$(3x+2)(3x-1) > 0$

$x > 1/3$ または $x < -2/3$

$x > 0$ の範囲では、$x > 1/3$ で成立するので、常に成立するとは言えません。

2. $3+x > \sqrt{9+6x}$ の場合：

両辺を2乗すると、

$(3+x)^2 > 9+6x$

$9+6x+x^2 > 9+6x$

$x^2 > 0$

$x \ne 0$

$x > 0$ なので、$x^2 > 0$ が成り立ちます。よって、常に成立します。

3. $2+x > \sqrt{9+14x}$ の場合：

両辺を2乗すると、

$(2+x)^2 > 9+14x$

$4+4x+x^2 > 9+14x$

$x^2 - 10x - 5 > 0$

解の公式より、$x = \frac{10 \pm \sqrt{100+20}}{2} = 5 \pm \sqrt{30}$

$x > 5 + \sqrt{30}$ または $x < 5 - \sqrt{30}$

$x > 0$ の範囲では、$x > 5 + \sqrt{30}$ で成立するので、常に成立するとは言えません。

4. $2+x > \sqrt{9+6x}$ の場合：

両辺を2乗すると、

$(2+x)^2 > 9+6x$

$4+4x+x^2 > 9+6x$

$x^2 - 2x - 5 > 0$

解の公式より、$x = \frac{2 \pm \sqrt{4+20}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}$

$x > 1 + \sqrt{6}$ または $x < 1 - \sqrt{6}$

$x > 0$ の範囲では、$x > 1 + \sqrt{6}$ で成立するので、常に成立するとは言えません。

5. $3+x > \sqrt{9+7x}$ の場合：

両辺を2乗すると、

$(3+x)^2 > 9+7x$

$9+6x+x^2 > 9+7x$

$x^2 - x > 0$

$x(x-1) > 0$

$x > 1$ または $x < 0$

$x > 0$ の範囲では、$x > 1$ で成立するので、常に成立するとは言えません。

3. 最終的な答え

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