与えられた不等式のうち、常に成立するものを選ぶ問題です。具体的には、以下の5つの不等式が与えられています。 1. $9x^2 + 17y^2 \ge 25xy$

1. 問題の内容

与えられた不等式のうち、常に成立するものを選ぶ問題です。具体的には、以下の5つの不等式が与えられています。

1. $9x^2 + 17y^2 \ge 25xy$

2. $9x^2 + 15y^2 \ge 26xy$

3. $8x^2 + 16y^2 \ge 23xy$

4. $9x^2 + 12y^2 \ge 21xy$

5. $9x^2 + 16y^2 \ge 23xy$

2. 解き方の手順

これらの不等式が常に成立するかどうかを調べるには、以下の手順で考えます。

* **相加相乗平均の不等式を利用する**

$a > 0$, $b > 0$ のとき、 $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ が成り立ちます。また、$a=b$のときに等号が成立します。

この不等式を変形すると、$a+b \ge 2\sqrt{ab}$ となります。

* **与えられた不等式を $Ax^2+By^2 \ge Cxy$ の形に変形する**

$Ax^2 + By^2$ の部分に相加相乗平均の不等式を適用し、$Cxy$と比較します。

* **不等式が常に成立するための条件**

相加相乗平均の不等式より、$Ax^2 + By^2 \ge 2\sqrt{AB}xy$ となります。

したがって、$2\sqrt{AB} \ge C$ であれば、不等式は常に成立します。

それぞれの不等式について検討します。

1. $9x^2 + 17y^2 \ge 25xy$

$2\sqrt{9 \cdot 17} = 2\sqrt{153} \approx 24.7 < 25$

不等式は常に成立するとは限りません。

2. $9x^2 + 15y^2 \ge 26xy$

$2\sqrt{9 \cdot 15} = 2\sqrt{135} \approx 23.2 < 26$

不等式は常に成立するとは限りません。

3. $8x^2 + 16y^2 \ge 23xy$

$2\sqrt{8 \cdot 16} = 2\sqrt{128} = 2 \cdot 8\sqrt{2} \approx 22.6 < 23$

不等式は常に成立するとは限りません。

4. $9x^2 + 12y^2 \ge 21xy$

$2\sqrt{9 \cdot 12} = 2\sqrt{108} = 2 \cdot 6\sqrt{3} \approx 20.8 < 21$

不等式は常に成立するとは限りません。

5. $9x^2 + 16y^2 \ge 23xy$

$2\sqrt{9 \cdot 16} = 2\sqrt{144} = 2 \cdot 12 = 24 > 23$

不等式は常に成立します。

3. 最終的な答え

5