$x > 2$、 $y > 5$のとき、常に成立する不等式を選ぶ問題です。選択肢は以下の通りです。 1. $xy + 6 > 4x + 3y$

1. 問題の内容

$x > 2$、 $y > 5$のとき、常に成立する不等式を選ぶ問題です。選択肢は以下の通りです。

1. $xy + 6 > 4x + 3y$

2. $xy + 10 > 2x + 5y$

3. $xy + 10 > 5x + 2y$

4. $xy + 10 > 6x + 3y$

5. $xy + 5 > 5x + 2y$

6. わからない

2. 解き方の手順

不等式の証明問題では、差を取って正であることを示すのが基本です。ただし、今回は選択肢の中から正しいものを選ぶので、具体的な数値を代入して反例を見つけることで誤った選択肢を排除し、残ったものが答えとなる可能性が高いです。

まず、$x$と$y$の具体的な値として、$x = 3$、$y = 6$を代入して各選択肢を検証します。

1. $xy + 6 > 4x + 3y$ に代入すると、$3 \cdot 6 + 6 > 4 \cdot 3 + 3 \cdot 6$、つまり $24 > 12 + 18 = 30$ となり、これは成り立ちません。

2. $xy + 10 > 2x + 5y$ に代入すると、$3 \cdot 6 + 10 > 2 \cdot 3 + 5 \cdot 6$、つまり $28 > 6 + 30 = 36$ となり、これは成り立ちません。

3. $xy + 10 > 5x + 2y$ に代入すると、$3 \cdot 6 + 10 > 5 \cdot 3 + 2 \cdot 6$、つまり $28 > 15 + 12 = 27$ となり、これは成り立ちます。

4. $xy + 10 > 6x + 3y$ に代入すると、$3 \cdot 6 + 10 > 6 \cdot 3 + 3 \cdot 6$、つまり $28 > 18 + 18 = 36$ となり、これは成り立ちません。

5. $xy + 5 > 5x + 2y$ に代入すると、$3 \cdot 6 + 5 > 5 \cdot 3 + 2 \cdot 6$、つまり $23 > 15 + 12 = 27$ となり、これは成り立ちません。

選択肢3が成り立つ可能性があります。次に、$x > 2$, $y > 5$という条件から、$x = 2 + a$, $y = 5 + b$ ($a > 0$, $b > 0$)とおき、選択肢3の不等式を評価してみます。

$xy + 10 > 5x + 2y$

$(2+a)(5+b) + 10 > 5(2+a) + 2(5+b)$

$10 + 2b + 5a + ab + 10 > 10 + 5a + 10 + 2b$

$20 + 2b + 5a + ab > 20 + 5a + 2b$

$ab > 0$

$a > 0$、$b > 0$ より、$ab > 0$は常に成り立ちます。

3. 最終的な答え

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