次の不等式のうち、常に成立するものを選択する問題です。不等式は以下の通りです。 1. $(x+5y)^2 \ge 22xy$

1. 問題の内容

次の不等式のうち、常に成立するものを選択する問題です。不等式は以下の通りです。

1. $(x+5y)^2 \ge 22xy$

2. $(x+2y)^2 \ge 9xy$

3. $(x+3y)^2 \ge 12xy$

4. $(x+6y)^2 \ge 25xy$

5. $(x+7y)^2 \ge 30xy$

2. 解き方の手順

各不等式について、左辺を展開し、右辺を左辺に移項して整理し、完全平方式の形に変形できるかどうかを確認します。

1. $(x+5y)^2 \ge 22xy$

$x^2 + 10xy + 25y^2 \ge 22xy$

$x^2 - 12xy + 25y^2 \ge 0$

$(x - 6y)^2 - 11y^2 \ge 0$

これは常に成立するとは限りません。 例えば、$x=6y$の時、$-11y^2 \ge 0$ となり、$y=0$の時のみ成立します。

2. $(x+2y)^2 \ge 9xy$

$x^2 + 4xy + 4y^2 \ge 9xy$

$x^2 - 5xy + 4y^2 \ge 0$

$(x-y)(x-4y) \ge 0$

これも常に成立するとは限りません。例えば、$x=2y$の時、$(2y-y)(2y-4y) = y(-2y) = -2y^2 \ge 0$となり、$y=0$の時のみ成立します。

3. $(x+3y)^2 \ge 12xy$

$x^2 + 6xy + 9y^2 \ge 12xy$

$x^2 - 6xy + 9y^2 \ge 0$

$(x-3y)^2 \ge 0$

これは常に成立します。

4. $(x+6y)^2 \ge 25xy$

$x^2 + 12xy + 36y^2 \ge 25xy$

$x^2 - 13xy + 36y^2 \ge 0$

$(x - 4y)(x - 9y) \ge 0$

これも常に成立するとは限りません。例えば、$x=5y$の時、$(5y - 4y)(5y - 9y) = y(-4y) = -4y^2 \ge 0$となり、$y=0$の時のみ成立します。

5. $(x+7y)^2 \ge 30xy$

$x^2 + 14xy + 49y^2 \ge 30xy$

$x^2 - 16xy + 49y^2 \ge 0$

$(x-8y)^2 - 15y^2 \ge 0$

これも常に成立するとは限りません。 例えば、$x=8y$の時、$-15y^2 \ge 0$ となり、$y=0$の時のみ成立します。

3. 最終的な答え

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