与えられた方程式 $|2t-t^2-4|/\sqrt{2^2+(-1)^2} = \sqrt{5}$ を変形し、$|t^2-2t+4|=5$ となることを示し、その絶対値を含む方程式を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $|2t-t^2-4|/\sqrt{2^2+(-1)^2} = \sqrt{5}$ を変形し、$|t^2-2t+4|=5$ となることを示し、その絶対値を含む方程式を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式 $|2t-t^2-4|/\sqrt{2^2+(-1)^2} = \sqrt{5}$ を変形します。

分母を計算します。$\sqrt{2^2+(-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$

与えられた方程式は、

$\frac{|2t-t^2-4|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

となります。両辺に $\sqrt{5}$ を掛けると、

$|2t-t^2-4| = 5$

となります。絶対値の中身の符号を反転させても絶対値は変わらないので、

$|-(t^2-2t+4)| = |t^2-2t+4| = 5$

したがって、$|t^2-2t+4|=5$ が得られます。

次に、絶対値を含む方程式 $|t^2-2t+4|=5$ を解きます。

場合分けをします。

(1) $t^2-2t+4 = 5$ の場合

$t^2-2t-1 = 0$

解の公式を用いて、$t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

よって、$t = 1+\sqrt{2}$ または $t = 1-\sqrt{2}$

(2) $t^2-2t+4 = -5$ の場合

$t^2-2t+9 = 0$

判別式 $D = (-2)^2 - 4(1)(9) = 4 - 36 = -32 < 0$ なので、実数解を持ちません。

3. 最終的な答え

$t = 1+\sqrt{2}, 1-\sqrt{2}$