与えられた5つの不等式の中から、常に成立するものを選ぶ問題です。不等式は以下の通りです。 1: $9x^2 + 12y^2 \ge 21xy$ 2: $9x^2 + 15y^2 \ge 26xy$ 3: $9x^2 + 17y^2 \ge 25xy$ 4: $9x^2 + 16y^2 \ge 23xy$ 5: $8x^2 + 16y^2 \ge 23xy$

1. 問題の内容

与えられた5つの不等式の中から、常に成立するものを選ぶ問題です。不等式は以下の通りです。

1: $9x^2 + 12y^2 \ge 21xy$

2: $9x^2 + 15y^2 \ge 26xy$

3: $9x^2 + 17y^2 \ge 25xy$

4: $9x^2 + 16y^2 \ge 23xy$

5: $8x^2 + 16y^2 \ge 23xy$

2. 解き方の手順

相加平均と相乗平均の関係を利用して、各不等式が常に成り立つかどうかを判断します。

相加平均と相乗平均の関係は、$a, b \ge 0$のとき、$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ が成り立つというものです。等号成立は$a=b$のときです。

各不等式に対して、左辺を2つの項の和で表し、相加平均と相乗平均の関係を適用します。

1: $9x^2 + 12y^2 \ge 21xy$

$\frac{9x^2 + 12y^2}{2} \ge \sqrt{9x^2 \cdot 12y^2} = \sqrt{108x^2y^2} = 6\sqrt{3} |xy|$

$9x^2 + 12y^2 \ge 12\sqrt{3} |xy| \approx 20.78 xy$. したがって、この不等式は常に成り立つとは限りません。

2: $9x^2 + 15y^2 \ge 26xy$

この不等式も同様に相加平均と相乗平均の関係を適用しても、常に成り立つとは限りません。

3: $9x^2 + 17y^2 \ge 25xy$

この不等式も同様に相加平均と相乗平均の関係を適用しても、常に成り立つとは限りません。

4: $9x^2 + 16y^2 \ge 23xy$

この不等式も同様に相加平均と相乗平均の関係を適用しても、常に成り立つとは限りません。

5: $8x^2 + 16y^2 \ge 23xy$

$8x^2 + 16y^2 = 8x^2 + 2 \cdot 8y^2$であり、$8x^2, 8y^2, 8y^2$ の3つの項で相加平均と相乗平均の関係を利用することはできません。

不等式の証明として、$9x^2 + 16y^2 - 24xy = (3x - 4y)^2 \ge 0$ が常に成り立つことはよく知られています。

ここで、$9x^2+16y^2-24xy=(3x-4y)^2 \geq 0$より、$9x^2+16y^2 \geq 24xy$が成立することがわかります。

$9x^2 + 16y^2 - 24xy = (3x)^2 + (4y)^2 - 2(3x)(4y)$

$9x^2 + 16y^2 = (3x)^2 + (4y)^2$

そこで$2(3x)(4y) = 24xy$.

相加平均と相乗平均の関係から

$8x^2+16y^2$に対して考察を行います。

$\frac{8x^2+16y^2}{2} \geq \sqrt{8x^2 \times 16y^2}$

$8x^2+16y^2 \geq 2 \sqrt{128x^2y^2} = 2(8 \sqrt{2})|xy| = 16\sqrt{2}|xy| \approx 22.6xy$

そこで、相加平均と相乗平均の関係を正しく用いるためには、

$8x^2 + 16y^2 = 8x^2 + 8y^2 + 8y^2$

として、

$\frac{8x^2 + 8y^2 + 8y^2}{3} \ge \sqrt[3]{8x^2 \cdot 8y^2 \cdot 8y^2} = \sqrt[3]{512x^2y^4} = 8\sqrt[3]{x^2y^4}$

$8x^2 + 16y^2 \ge 24 \sqrt[3]{x^2y^4}$

これは常に成立するとは言えません。

$8x^2 + 16y^2 - 23xy = 0$ となることはありえます。

例えば、$x=1, y=1$とすると$8+16 = 24$となり、$23xy = 23$.

相加平均と相乗平均の関係を用いることは、この問題を解くためにあまり役に立ちません。

$9x^2 + 16y^2 \ge 24xy$より、問題文に誤りがある可能性もあります。

3. 最終的な答え

6 わからない