$a = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ のとき、以下の式の値を求めます。 (1) $a^2 - a - 1$ (2) $a^4 + a^3 + a^2 + a + 1$

1. 問題の内容

$a = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ のとき、以下の式の値を求めます。

(1) $a^2 - a - 1$

(2) $a^4 + a^3 + a^2 + a + 1$

2. 解き方の手順

(1) $a^2 - a - 1$ の値を求めます。

$a = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ より、

$2a = 1 + \sqrt{5}$

$2a - 1 = \sqrt{5}$

両辺を2乗すると、

$(2a - 1)^2 = (\sqrt{5})^2$

$4a^2 - 4a + 1 = 5$

$4a^2 - 4a - 4 = 0$

両辺を4で割ると、

$a^2 - a - 1 = 0$

(2) $a^4 + a^3 + a^2 + a + 1$ の値を求めます。

(1)より、$a^2 - a - 1 = 0$ なので、$a^2 = a + 1$ が成り立ちます。

これを利用して、高次の項を次数下げします。

$a^3 = a \cdot a^2 = a(a+1) = a^2 + a = (a+1) + a = 2a + 1$

$a^4 = a \cdot a^3 = a(2a+1) = 2a^2 + a = 2(a+1) + a = 3a + 2$

したがって、

$a^4 + a^3 + a^2 + a + 1 = (3a+2) + (2a+1) + (a+1) + a + 1 = 7a + 5$

$a = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ を代入すると、

$7a + 5 = 7 \cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2} + 5 = \frac{7 + 7\sqrt{5}}{2} + \frac{10}{2} = \frac{17 + 7\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a^2 - a - 1 = 0$

(2) $a^4 + a^3 + a^2 + a + 1 = \frac{17 + 7\sqrt{5}}{2}$