次の不等式のうち、常に成立するものを選びなさい。 選択肢は以下の通りです。 1. $9x^2 + 12y^2 \ge 21xy$

1. 問題の内容

次の不等式のうち、常に成立するものを選びなさい。

選択肢は以下の通りです。

1. $9x^2 + 12y^2 \ge 21xy$

2. $9x^2 + 15y^2 \ge 26xy$

3. $9x^2 + 17y^2 \ge 25xy$

4. $9x^2 + 16y^2 \ge 23xy$

5. $8x^2 + 16y^2 \ge 23xy$

2. 解き方の手順

不等式が常に成立するかどうかを調べるには、(左辺) - (右辺) $\ge 0$ となることを示す方法があります。

また、相加相乗平均の関係 $a^2+b^2 \ge 2ab$ を利用することを考えます。

1. $9x^2 + 12y^2 - 21xy \ge 0$

$9x^2 - 21xy + 12y^2 = 3(3x^2 - 7xy + 4y^2) = 3(3x - 4y)(x-y)$

これは常に成り立つとは限りません。例えば、$x=1, y=2$ のとき負になります。

2. $9x^2 + 15y^2 - 26xy \ge 0$

相加相乗平均の関係を使うことを考えると、$9x^2$と$15y^2$の係数の比が平方数の比に近いほど、相加相乗平均の関係で示しやすいです。

この不等式が常に成り立つかどうかは判断が難しいです。

3. $9x^2 + 17y^2 - 25xy \ge 0$

これも同様に判断が難しいです。

4. $9x^2 + 16y^2 - 23xy \ge 0$

これも同様に判断が難しいです。

5. $8x^2 + 16y^2 - 23xy \ge 0$

これも同様に判断が難しいです。

相加相乗平均の関係が使えそうなものから検討してみましょう。

1から5の選択肢のうち、$ax^2+by^2 \ge cxy$の形の式で、$a$と$b$が平方数に近いもの、あるいは$a=p^2$かつ$b=q^2$で、$c \approx 2pq$となるものを探します。

選択肢4に注目すると、$9x^2=(3x)^2$、$16y^2=(4y)^2$であり、$2(3x)(4y)=24xy$なので、 $9x^2 + 16y^2 \ge 24xy$となり、$23xy$より大きくなる可能性があると考えられます。

$9x^2 + 16y^2 - 23xy = 9x^2 - 24xy + 16y^2 + xy = (3x-4y)^2 + xy \ge 0$となるかどうかは、$xy$の符号によって変わるので常に成り立つとは限りません。

選択肢1は$3(3x-4y)(x-y) \ge 0$となるかどうか、選択肢2,3,5も同様に式変形を行っても$(...)xy$の形になって、$xy$の符号によって不等号が逆転する可能性があるため、常に成り立つとは言えません。

相加相乗平均の関係をうまく利用できる組み合わせがないため、判別式を使って検討してみます。

$ax^2+by^2 \ge cxy$を変形して、$ax^2 - cxy + by^2 \ge 0$とします。この2次不等式が常に成り立つためには、判別式$D = (cy)^2 - 4aby^2 \le 0$が必要です。つまり、$c^2 \le 4ab$であれば、常に不等式が成り立ちます。

1. $21^2 = 441$, $4 * 9 * 12 = 432$ より $c^2 > 4ab$

2. $26^2 = 676$, $4 * 9 * 15 = 540$ より $c^2 > 4ab$

3. $25^2 = 625$, $4 * 9 * 17 = 612$ より $c^2 > 4ab$

4. $23^2 = 529$, $4 * 9 * 16 = 576$ より $c^2 < 4ab$

5. $23^2 = 529$, $4 * 8 * 16 = 512$ より $c^2 > 4ab$

選択肢4のみ $c^2 < 4ab$を満たします。

$9x^2 - 23xy + 16y^2 = 0$とした時の判別式は $D = (-23y)^2 - 4 * 9 * 16y^2 = (529-576)y^2 = -47y^2 \le 0$なので、$9x^2 + 16y^2 \ge 23xy$は常に成り立ちます。

3. 最終的な答え

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