与えられた連立一次方程式を解きます。連立一次方程式は行列を用いて $\begin{bmatrix} -3 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ と表されています。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解きます。連立一次方程式は行列を用いて

$\begin{bmatrix} -3 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

と表されています。

2. 解き方の手順

連立一次方程式を行列で表し、掃き出し法を用いて解きます。

まず拡大係数行列を作成します。

$\begin{bmatrix} -3 & 3 & 1 & | & 1 \\ 1 & -1 & 2 & | & 0 \end{bmatrix}$

次に、行基本変形を行います。

1行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 0 \\ -3 & 3 & 1 & | & 1 \end{bmatrix}$

2行目に1行目の3倍を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 0 \\ 0 & 0 & 7 & | & 1 \end{bmatrix}$

2行目を7で割ります。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{1}{7} \end{bmatrix}$

1行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & | & -\frac{2}{7} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{1}{7} \end{bmatrix}$

この行列は、

$x_1 - x_2 = -\frac{2}{7}$

$x_3 = \frac{1}{7}$

に対応します。

$x_2 = t$ とおくと、$x_1 = t - \frac{2}{7}$ となります。

したがって、解は

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} t - \frac{2}{7} \\ t \\ \frac{1}{7} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{2}{7} \\ 0 \\ \frac{1}{7} \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

となります。

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{2}{7} \\ 0 \\ \frac{1}{7} \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ (ただし、$t$ は任意の実数)