ある果物を500個収穫したところ、45個が成育不良であった。この結果から全体の不良率 $p$ について、正規分布で近似して信頼係数95%の信頼区間を求める。信頼限界の値は小数第4位を四捨五入する。

1. 問題の内容

ある果物を500個収穫したところ、45個が成育不良であった。この結果から全体の不良率 $p$ について、正規分布で近似して信頼係数95%の信頼区間を求める。信頼限界の値は小数第4位を四捨五入する。

2. 解き方の手順

まず、標本不良率 $\hat{p}$ を計算する。

$\hat{p} = \frac{45}{500} = 0.09$

次に、信頼区間の幅を計算するために、標準誤差を求める。

標準誤差 $SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.09 \times (1-0.09)}{500}} = \sqrt{\frac{0.09 \times 0.91}{500}} = \sqrt{\frac{0.0819}{500}} = \sqrt{0.0001638} \approx 0.0128$

信頼係数95%に対応するz値は1.96である。したがって、信頼区間の幅は

$1.96 \times SE = 1.96 \times 0.0128 \approx 0.0251$

信頼区間の下限は

$\hat{p} - 1.96 \times SE = 0.09 - 0.0251 = 0.0649$

信頼区間の上限は

$\hat{p} + 1.96 \times SE = 0.09 + 0.0251 = 0.1151$

小数第4位を四捨五入する。

3. 最終的な答え

信頼区間は(0.065, 0.115) つまり (6.5%, 11.5%)。