次の不等式のうち、$x>0$ で常に成立するものを選びなさい。 選択肢は以下の通りです。 1. $4+3x > \sqrt{18+15x}$

1. 問題の内容

次の不等式のうち、$x>0$ で常に成立するものを選びなさい。

選択肢は以下の通りです。

1. $4+3x > \sqrt{18+15x}$

2. $3+3x > \sqrt{10+27x}$

3. $5+2x > \sqrt{25+20x}$

4. $2+x > \sqrt{9+10x}$

5. $5+x > \sqrt{27+9x}$

2. 解き方の手順

各不等式について、$x>0$の範囲で常に成立するかどうかを検討します。

各選択肢の不等式の両辺が正であることから、両辺を2乗して不等号の向きが変わらないことを確認し、比較します。

1. $4+3x > \sqrt{18+15x}$

両辺を2乗すると、

$(4+3x)^2 > 18+15x$

$16 + 24x + 9x^2 > 18 + 15x$

$9x^2 + 9x - 2 > 0$

$(3x-1)(3x+2)>0$

$x>0$ の範囲では、$3x+2>0$なので、$3x-1>0$、つまり、$x>\frac{1}{3}$の場合に成立します。$0 < x \le \frac{1}{3}$では成立しないので、常に成立するわけではありません。

2. $3+3x > \sqrt{10+27x}$

両辺を2乗すると、

$(3+3x)^2 > 10+27x$

$9 + 18x + 9x^2 > 10 + 27x$

$9x^2 - 9x - 1 > 0$

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81+36}}{18} = \frac{9 \pm \sqrt{117}}{18} = \frac{9 \pm 3\sqrt{13}}{18} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{6}$

$x > \frac{3+\sqrt{13}}{6} \approx 1.10$ で成立します。 $0< x \le 1.10$では成立しないので、常に成立するわけではありません。

3. $5+2x > \sqrt{25+20x}$

両辺を2乗すると、

$(5+2x)^2 > 25+20x$

$25 + 20x + 4x^2 > 25 + 20x$

$4x^2 > 0$

$x^2 > 0$

$x \ne 0$

$x > 0$ で常に成立します。

4. $2+x > \sqrt{9+10x}$

両辺を2乗すると、

$(2+x)^2 > 9+10x$

$4 + 4x + x^2 > 9 + 10x$

$x^2 - 6x - 5 > 0$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36+20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{14}}{2} = 3 \pm \sqrt{14}$

$x > 3 + \sqrt{14} \approx 6.74$ で成立します。$0 < x \le 6.74$では成立しないので、常に成立するわけではありません。

5. $5+x > \sqrt{27+9x}$

両辺を2乗すると、

$(5+x)^2 > 27+9x$

$25 + 10x + x^2 > 27 + 9x$

$x^2 + x - 2 > 0$

$(x+2)(x-1) > 0$

$x > 1$ で成立します。$0 < x \le 1$では成立しないので、常に成立するわけではありません。

3. 最終的な答え

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