$x > 3$ かつ $y > 6$ のとき、次の不等式のうち常に成立するものを選びます。 選択肢は以下の通りです。 1. $xy + 6 > 4x + 3y$

1. 問題の内容

$x > 3$ かつ $y > 6$ のとき、次の不等式のうち常に成立するものを選びます。

選択肢は以下の通りです。

1. $xy + 6 > 4x + 3y$

2. $xy + 10 > 5x + 7y$

3. $xy + 20 > 6x + 3y$

4. $xy + 15 > 6x + 4y$

5. $xy + 18 > 3x + 6y$

6. わからない

2. 解き方の手順

各選択肢について、不等式が常に成立するかどうかを検討します。

1. $xy + 6 > 4x + 3y$

$x > 3$ かつ $y > 6$ より、 $4x > 12$ かつ $3y > 18$ です。

$xy + 6 > 4x + 3y$ を変形すると $xy - 4x - 3y + 12 > 6$ となります。

さらに変形すると $(x-3)(y-4) > 6$ となります。

$x > 3$ より $x-3 > 0$ ですが、$y > 6$ より $y-4 > 2$ なので、$(x-3)(y-4) > 0$ は保証されますが、$(x-3)(y-4) > 6$ が常に成り立つとは限りません。例えば $x=4, y=7$ のとき、 $(4-3)(7-4) = 3 < 6$ となり成り立ちません。

2. $xy + 10 > 5x + 7y$

$x > 3$ かつ $y > 6$ より、 $5x > 15$ かつ $7y > 42$ です。

$xy + 10 > 5x + 7y$ を変形すると $xy - 5x - 7y + 35 > 25$ となります。

さらに変形すると $(x-7)(y-5) > 25$ となります。

$y > 6$ より $y-5 > 1$ ですが、$x>3$ より$x-7$は負の値を取り得るので $(x-7)(y-5) > 25$ が常に成り立つとは限りません。例えば $x=4, y=7$ のとき、 $(4-7)(7-5) = -6 < 25$ となり成り立ちません。

3. $xy + 20 > 6x + 3y$

$x > 3$ かつ $y > 6$ より、$6x > 18$ かつ $3y > 18$ です。

$xy + 20 > 6x + 3y$ を変形すると $xy - 6x - 3y + 18 > -2$ となります。

さらに変形すると $(x-3)(y-6) > -2$ となります。

$x > 3$ より $x - 3 > 0$ かつ $y > 6$ より $y - 6 > 0$ なので、 $(x-3)(y-6) > 0 > -2$ となり、常に成立します。

4. $xy + 15 > 6x + 4y$

$x > 3$ かつ $y > 6$ より、$6x > 18$ かつ $4y > 24$ です。

$xy + 15 > 6x + 4y$ を変形すると $xy - 6x - 4y + 24 > 9$ となります。

さらに変形すると $(x-4)(y-6) > 9$ となります。

$y > 6$ より $y-6 > 0$ ですが、$x>3$ より$x-4$は負の値を取り得るので $(x-4)(y-6) > 9$ が常に成り立つとは限りません。例えば $x=3.5, y=7$ のとき、 $(3.5-4)(7-6) = -0.5 < 9$ となり成り立ちません。

5. $xy + 18 > 3x + 6y$

$x > 3$ かつ $y > 6$ より、$3x > 9$ かつ $6y > 36$ です。

$xy + 18 > 3x + 6y$ を変形すると $xy - 3x - 6y + 18 > 0$ となります。

さらに変形すると $(x-6)(y-3) > 0$ となります。

$y > 6$ より $y-3 > 3 > 0$ ですが、$x>3$ より$x-6$は負の値を取り得るので $(x-6)(y-3) > 0$ が常に成り立つとは限りません。例えば $x=4, y=7$ のとき、 $(4-6)(7-3) = -8 < 0$ となり成り立ちません。

3. 最終的な答え

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