$a > 0$、$b > 0$のとき、不等式 $\frac{4a}{b} + \frac{9b}{a} \ge 12$ の等号が成立するときの、$a$、$b$の条件として最も適切なものを選択する。

1. 問題の内容

$a > 0$、$b > 0$のとき、不等式 $\frac{4a}{b} + \frac{9b}{a} \ge 12$ の等号が成立するときの、$a$、$b$の条件として最も適切なものを選択する。

2. 解き方の手順

不等式 $\frac{4a}{b} + \frac{9b}{a} \ge 12$ の等号成立条件を求めるために、相加相乗平均の不等式を利用する。$a>0$, $b>0$ より、$\frac{4a}{b}>0$, $\frac{9b}{a}>0$ なので、相加相乗平均の不等式を用いることができる。

$\frac{4a}{b} + \frac{9b}{a} \ge 2\sqrt{\frac{4a}{b} \cdot \frac{9b}{a}}$

$\frac{4a}{b} + \frac{9b}{a} \ge 2\sqrt{36}$

$\frac{4a}{b} + \frac{9b}{a} \ge 2 \cdot 6$

$\frac{4a}{b} + \frac{9b}{a} \ge 12$

与えられた不等式と比較すると、相加相乗平均の不等式によって、与えられた不等式が導かれることがわかる。

相加相乗平均の不等式において、等号が成立するのは $\frac{4a}{b} = \frac{9b}{a}$ のときである。

$\frac{4a}{b} = \frac{9b}{a}$

$4a^2 = 9b^2$

$(2a)^2 = (3b)^2$

$2a = 3b$ （$a>0$, $b>0$ より）

$a = \frac{3}{2}b$

3. 最終的な答え

$a = \frac{3}{2}b$

選択肢の中でこれと一致するのは3番である。