自然数 $m, n$ に対して、以下の条件 $p, q, r$ が与えられています。 * $p: m+n$ は 2 で割り切れる * $q: n$ は 4 で割り切れる * $r: m$ は 2 で割り切れ、かつ $n$ は 4 で割り切れる 条件の否定をそれぞれ $\bar{p}, \bar{q}, \bar{r}$ で表します。 以下のそれぞれについて、$r$ であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、いずれでもないかを答えます。 * $p$ * $\bar{p}$ * $p$ かつ $q$ * $p$ または $q$ 選択肢は以下です。 0. 必要十分条件である 1. 必要条件であるが、十分条件でない

1. 問題の内容

自然数 $m, n$ に対して、以下の条件 $p, q, r$ が与えられています。

* $p: m+n$ は 2 で割り切れる

* $q: n$ は 4 で割り切れる

* $r: m$ は 2 で割り切れ、かつ $n$ は 4 で割り切れる

条件の否定をそれぞれ $\bar{p}, \bar{q}, \bar{r}$ で表します。

以下のそれぞれについて、$r$ であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、いずれでもないかを答えます。

* $p$

* $\bar{p}$

* $p$ かつ $q$

* $p$ または $q$

選択肢は以下です。

0. 必要十分条件である

1. 必要条件であるが、十分条件でない

2. 十分条件であるが、必要条件でない

3. 必要条件でも十分条件でもない

2. 解き方の手順

(1) $p$ は $r$ であるための条件

$p: m+n$ が 2 で割り切れる（$m+n$ が偶数）

$r: m$ が 2 で割り切れ、$n$ が 4 で割り切れる ($m$ が偶数で、$n$ が 4 の倍数)

$r \implies p$:

$r$ が成り立つとき、$m = 2k$，$n = 4l$ ($k, l$ は整数) と表せる。

よって、$m+n = 2k + 4l = 2(k+2l)$ となり、$m+n$ は 2 で割り切れる。つまり、$p$ が成り立つ。したがって、$r \implies p$ は真。

$p \implies r$:

$p$ が成り立つとき、$m+n$ が偶数なので、$m$ と $n$ はともに偶数か、またはともに奇数である。

例えば、$m=1, n=1$ のとき、$m+n = 2$ となり、$p$ は成り立つが、$m$ は 2 で割り切れず、$n$ は 4 で割り切れないので、$r$ は成り立たない。したがって、$p \implies r$ は偽。

$r \implies p$ は真、$p \implies r$ は偽であるから、$p$ は $r$ であるための必要条件であるが、十分条件ではない。答えは 1。

(2) $\bar{p}$ は $r$ であるための条件

$\bar{p}: m+n$ は 2 で割り切れない（$m+n$ が奇数）

$r: m$ は 2 で割り切れ、$n$ は 4 で割り切れる ($m$ が偶数で、$n$ が 4 の倍数)

$r \implies \bar{p}$:

$r$ が成り立つとき、$m$ は偶数、$n$ は 4 の倍数（偶数）。したがって、$m+n$ は偶数になるので、$\bar{p}$ は成り立たない。よって、$r \implies \bar{p}$ は偽。

$\bar{p} \implies r$:

$\bar{p}$ が成り立つとき、$m+n$ が奇数なので、$m$ と $n$ のどちらか一方が偶数で、もう一方が奇数である。

このとき、$m$ は偶数、$n$ は 4 で割り切れるという $r$ が成り立つことはない。例えば、$m=1, n=2$ のとき、$m+n=3$ となり、$\bar{p}$ は成り立つが、$r$ は成り立たない。したがって、$\bar{p} \implies r$ は偽。

$r \implies \bar{p}$ は偽、$\bar{p} \implies r$ は偽であるから、$\bar{p}$ は $r$ であるための必要条件でも十分条件でもない。答えは 3。

(3) 「$p$ かつ $q$」 は $r$ であるための条件

$p$ かつ $q: m+n$ は 2 で割り切れ、かつ $n$ は 4 で割り切れる。

$r: m$ は 2 で割り切れ、$n$ は 4 で割り切れる。

$r \implies$「$p$ かつ $q$」:

$r$ が成り立つとき、$m$ は偶数、$n$ は 4 で割り切れる。したがって、$m+n$ は偶数であり、$p$ は成り立つ。また、$n$ は 4 で割り切れるので、$q$ は成り立つ。よって、$r \implies$「$p$ かつ $q$」は真。

「$p$ かつ $q$」 $\implies r$:

$p$ かつ $q$ が成り立つとき、$m+n$ は偶数、$n$ は 4 で割り切れる。$m+n$ が偶数で、$n$ が偶数なので、$m$ も偶数である。したがって、$m$ は偶数、$n$ は 4 で割り切れるので、$r$ は成り立つ。「$p$ かつ $q$」$\implies r$ は真。

$r \implies$「$p$ かつ $q$」は真、「$p$ かつ $q$」$\implies r$ は真であるから、「$p$ かつ $q$」 は $r$ であるための必要十分条件である。答えは 0。

(4) 「$p$ または $q$」 は $r$ であるための条件

$p$ または $q: m+n$ は 2 で割り切れるか、$n$ は 4 で割り切れる。

$r: m$ は 2 で割り切れ、$n$ は 4 で割り切れる。

$r \implies$「$p$ または $q$」:

$r$ が成り立つとき、$m$ は偶数、$n$ は 4 で割り切れる。$n$ が 4 で割り切れるので、「$p$ または $q$」は成り立つ。したがって、$r \implies$「$p$ または $q$」は真。

「$p$ または $q$」$\implies r$:

例えば、$m=1, n=1$ のとき、$m+n = 2$ なので、$p$ は成り立つ。したがって、「$p$ または $q$」は成り立つ。しかし、$m$ は 2 で割り切れず、$n$ は 4 で割り切れないので、$r$ は成り立たない。したがって、「$p$ または $q$」$\implies r$ は偽。

$r \implies$「$p$ または $q$」は真、「$p$ または $q$」$\implies r$ は偽であるから、「$p$ または $q$」 は $r$ であるための十分条件であるが、必要条件ではない。答えは 2。

3. 最終的な答え

* $p$ は $r$ であるための 1

* $\bar{p}$ は $r$ であるための 3

* 「$p$ かつ $q$」は $r$ であるための 0

* 「$p$ または $q$」は $r$ であるための 2