$z = x^2 - 2xy + y^2$ であり、$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ のとき、$\frac{\partial z}{\partial r}$ および $\frac{\partial z}{\partial \theta}$ を求めよ。

## 問題 3

1. 問題の内容

$z = x^2 - 2xy + y^2$ であり、$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ のとき、$\frac{\partial z}{\partial r}$ および $\frac{\partial z}{\partial \theta}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$z$ を $r$ と $\theta$ の関数として表す。

$z = (r\cos\theta)^2 - 2(r\cos\theta)(r\sin\theta) + (r\sin\theta)^2 = r^2\cos^2\theta - 2r^2\cos\theta\sin\theta + r^2\sin^2\theta = r^2(\cos^2\theta - 2\cos\theta\sin\theta + \sin^2\theta) = r^2(1 - 2\cos\theta\sin\theta) = r^2(1 - \sin2\theta)$

$\frac{\partial z}{\partial r}$ を計算する。

$\frac{\partial z}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r} [r^2(1-\sin2\theta)] = 2r(1 - \sin2\theta)$

$\frac{\partial z}{\partial \theta}$ を計算する。

$\frac{\partial z}{\partial \theta} = \frac{\partial}{\partial \theta} [r^2(1-\sin2\theta)] = r^2(-2\cos2\theta) = -2r^2\cos2\theta$

3. 最終的な答え

$\frac{\partial z}{\partial r} = 2r(1 - \sin2\theta)$

$\frac{\partial z}{\partial \theta} = -2r^2\cos2\theta$

## 問題 4

1. 問題の内容

$f(x, y) = \log \sqrt{x^2 + y^2}$ について、$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x, y)$ を簡単にする。

$f(x, y) = \log \sqrt{x^2 + y^2} = \log (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log (x^2 + y^2)$

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を計算する。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2} \frac{2x}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ を計算する。

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{x}{x^2 + y^2}\right) = \frac{(x^2 + y^2) - x(2x)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}$

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を計算する。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} \frac{2y}{x^2 + y^2} = \frac{y}{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ を計算する。

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{y}{x^2 + y^2}\right) = \frac{(x^2 + y^2) - y(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ を計算する。

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} + \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2 + x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2} = 0$

3. 最終的な答え

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$

## 問題 5

1. 問題の内容

$z = f(x, y)$, $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ のとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。

$(\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2 = (\frac{\partial z}{\partial r})^2 + \frac{1}{r^2}(\frac{\partial z}{\partial \theta})^2$

2. 解き方の手順

連鎖律を用いる。

$\frac{\partial z}{\partial r} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r} = \frac{\partial z}{\partial x} \cos\theta + \frac{\partial z}{\partial y} \sin\theta$

$\frac{\partial z}{\partial \theta} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \theta} = \frac{\partial z}{\partial x} (-r\sin\theta) + \frac{\partial z}{\partial y} (r\cos\theta)$

$(\frac{\partial z}{\partial r})^2$ を計算する。

$(\frac{\partial z}{\partial r})^2 = (\frac{\partial z}{\partial x} \cos\theta + \frac{\partial z}{\partial y} \sin\theta)^2 = (\frac{\partial z}{\partial x})^2 \cos^2\theta + 2\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial y} \cos\theta\sin\theta + (\frac{\partial z}{\partial y})^2 \sin^2\theta$

$(\frac{\partial z}{\partial \theta})^2$ を計算する。

$(\frac{\partial z}{\partial \theta})^2 = (\frac{\partial z}{\partial x} (-r\sin\theta) + \frac{\partial z}{\partial y} (r\cos\theta))^2 = (\frac{\partial z}{\partial x})^2 r^2\sin^2\theta - 2\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial y} r^2\sin\theta\cos\theta + (\frac{\partial z}{\partial y})^2 r^2\cos^2\theta$

$\frac{1}{r^2}(\frac{\partial z}{\partial \theta})^2$ を計算する。

$\frac{1}{r^2}(\frac{\partial z}{\partial \theta})^2 = (\frac{\partial z}{\partial x})^2 \sin^2\theta - 2\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial y} \sin\theta\cos\theta + (\frac{\partial z}{\partial y})^2 \cos^2\theta$

$(\frac{\partial z}{\partial r})^2 + \frac{1}{r^2}(\frac{\partial z}{\partial \theta})^2$ を計算する。

$(\frac{\partial z}{\partial r})^2 + \frac{1}{r^2}(\frac{\partial z}{\partial \theta})^2 = (\frac{\partial z}{\partial x})^2 \cos^2\theta + 2\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial y} \cos\theta\sin\theta + (\frac{\partial z}{\partial y})^2 \sin^2\theta + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 \sin^2\theta - 2\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial y} \sin\theta\cos\theta + (\frac{\partial z}{\partial y})^2 \cos^2\theta = (\frac{\partial z}{\partial x})^2 (\cos^2\theta + \sin^2\theta) + (\frac{\partial z}{\partial y})^2 (\sin^2\theta + \cos^2\theta) = (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2$

したがって、

$(\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2 = (\frac{\partial z}{\partial r})^2 + \frac{1}{r^2}(\frac{\partial z}{\partial \theta})^2$

3. 最終的な答え

上記証明より、与えられた等式は成り立つ。