与えられた連立一次方程式を解く問題です。未知数は $x_1, x_2, x_3$ であり、$a$ と $b$ は定数です。具体的には、以下の連立一次方程式を解くことになります。 $ \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解く問題です。未知数は $x_1, x_2, x_3$ であり、$a$ と $b$ は定数です。具体的には、以下の連立一次方程式を解くことになります。

$$

\begin{bmatrix}

2 & 1 & 3 \\

0 & -1 & 1 \\

1 & 1 & 1

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x_1 \\

x_2 \\

x_3

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

1 \\

a \\

b

\end{bmatrix}

$$

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列を拡大係数行列の形に書き換えます。

$$

\left[

\begin{array}{ccc|c}

2 & 1 & 3 & 1 \\

0 & -1 & 1 & a \\

1 & 1 & 1 & b

\end{array}

\right]

$$

次に、行基本変形を用いて階段行列に変形していきます。

まず、1行目と3行目を入れ替えます。

$$

\left[

\begin{array}{ccc|c}

1 & 1 & 1 & b \\

0 & -1 & 1 & a \\

2 & 1 & 3 & 1

\end{array}

\right]

$$

次に、3行目から1行目の2倍を引きます。

$$

\left[

\begin{array}{ccc|c}

1 & 1 & 1 & b \\

0 & -1 & 1 & a \\

0 & -1 & 1 & 1-2b

\end{array}

\right]

$$

次に、3行目から2行目を引きます。

$$

\left[

\begin{array}{ccc|c}

1 & 1 & 1 & b \\

0 & -1 & 1 & a \\

0 & 0 & 0 & 1-2b-a

\end{array}

\right]

$$

この連立一次方程式が解を持つためには、最後の行が $0 = 0$ となる必要があります。したがって、

$$

1 - 2b - a = 0

$$

すなわち、

$$

a = 1 - 2b

$$

この条件が満たされるとき、方程式は解を持つことになります。条件を満たす場合、2行目より $-x_2 + x_3 = a$ なので、 $x_2 = x_3 - a = x_3 - (1-2b)$ です。

1行目より $x_1 + x_2 + x_3 = b$ なので、$x_1 + (x_3 - (1-2b)) + x_3 = b$ となり、$x_1 = b - 2x_3 + 1 - 2b = 1 - b - 2x_3$ となります。

3. 最終的な答え

連立一次方程式が解を持つための条件は $a = 1 - 2b$ です。

このとき、解は次のようになります。

$x_1 = 1 - b - 2x_3$

$x_2 = x_3 - (1 - 2b)$

$x_3$ は任意の値をとることができます。