与えられた連立一次方程式が解を持つための $a$ と $b$ の条件を求める問題です。2つの問題があります。 (1) $\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix}$ (2) $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 5 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式が解を持つための $a$ と $b$ の条件を求める問題です。2つの問題があります。

(1)

$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix}$

(2)

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 5 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

(1)

与えられた連立一次方程式の拡大係数行列を作り、行基本変形を用いて簡約化します。解を持つためには、簡約化された拡大係数行列の最下行が $[0 \ 0 \ 0 \ | \ 0]$ でなければなりません。

$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & | & 1 \\ 0 & -1 & 1 & | & a \\ 1 & 1 & 1 & | & b \end{bmatrix}$

まず3行目を2倍し、1行目から引きます。

$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & | & 1 \\ 0 & -1 & 1 & | & a \\ 2 & 2 & 2 & | & 2b \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & | & 1 \\ 0 & -1 & 1 & | & a \\ 0 & 1 & -1 & | & 2b-1 \end{bmatrix}$

次に、3行目に2行目を加えます。

$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & | & 1 \\ 0 & -1 & 1 & | & a \\ 0 & 0 & 0 & | & a+2b-1 \end{bmatrix}$

解を持つためには、$a+2b-1 = 0$ である必要があります。したがって、$a+2b = 1$です。

(2)

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & | & 2 \\ 1 & 1 & 2 & | & 5 \\ 2 & -2 & a & | & 5 \end{bmatrix}$

2行目から1行目を引きます。3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 2 & 1 & | & 3 \\ 0 & 0 & a-2 & | & 1 \end{bmatrix}$

連立一次方程式が解を持つためには、$a-2 \neq 0$ である必要があります。さもなくば、$a-2 = 0$の場合、$0=1$という矛盾が生じ、解は存在しません。

したがって、$a \neq 2$です。

3. 最終的な答え

(1) $a+2b=1$

(2) $a \neq 2$