弱酸HAを水に溶かして濃度c [mol/L] の水溶液としたときの電離平衡に関する問題。HA, H+, A- の濃度、電離定数Ka、電離度αの関係を求める。

1. 問題の内容

弱酸HAを水に溶かして濃度c [mol/L] の水溶液としたときの電離平衡に関する問題。HA, H+, A- の濃度、電離定数Ka、電離度αの関係を求める。

2. 解き方の手順

問1: Kaの式を[HA], [H+], [A-]を用いて書き、単位も示す。また、[HA]と[A-]を用いてαの式を書く。

* Kaの定義式: $K_a = \frac{[H^+][A^-]}{[HA]}$ (単位: mol/L)

* αの定義: $α = \frac{[A^-]}{c}$

問2: [HA], [H+], [A-] をcとαを用いて表す。

* 反応式: HA ⇌ H+ + A-

* [HA] = c(1-α)

* [H+] = cα

* [A-] = cα

問3: Kaをcとαを用いて表す。

* 問1と問2の結果より、$K_a = \frac{(cα)(cα)}{c(1-α)} = \frac{cα^2}{1-α}$

問4: αをcとKaを用いて表す。

* 問3の式を変形してαについて解く。

* $K_a = \frac{cα^2}{1-α}$ より、 $K_a(1-α) = cα^2$

* $cα^2 + K_a α - K_a = 0$

* 解の公式より、 $α = \frac{-K_a \pm \sqrt{K_a^2 + 4cK_a}}{2c}$

* α > 0 より、 $α = \frac{-K_a + \sqrt{K_a^2 + 4cK_a}}{2c}$

問5: α << 1 の条件のもとで、問4のαの式を簡略化し、cとKaを用いて表す。また、[H+]をcとKaを用いて表す。

* α << 1 のとき、$1 - α \approx 1$ より、$K_a \approx cα^2$

* よって、$α = \sqrt{\frac{K_a}{c}}$

* [H+] = cα なので、$[H^+] = c\sqrt{\frac{K_a}{c}} = \sqrt{cK_a}$

問6: pHとpKaの関係式を導出し、pHとpKaと[H+]の関係を示す。

* pH = -log10[H+]、pKa = -log10Ka

* $K_a = \frac{[H^+][A^-]}{[HA]}$ の両辺の対数をとると、

* $log_{10}K_a = log_{10}[H^+] + log_{10}\frac{[A^-]}{[HA]}$

* $-pK_a = -pH + log_{10}\frac{[A^-]}{[HA]}$

* $pH = pK_a + log_{10}\frac{[A^-]}{[HA]}$ （Henderson-Hasselbalchの式）

問7: [H+]とKaを用いてαの式を導出する。

* $pH = -log_{10}[H^+]$ より、$[H^+] = 10^{-pH}$

* $K_a = \frac{[H^+][A^-]}{[HA]} = \frac{[H^+] c \alpha}{c(1-\alpha)} = \frac{[H^+]\alpha}{1-\alpha}$

* $K_a(1-\alpha) = [H^+]\alpha$

* $K_a = [H^+]\alpha + K_a \alpha$

* $K_a = \alpha([H^+] + K_a)$

* $\alpha = \frac{K_a}{[H^+] + K_a}$

* $\alpha = \frac{K_a}{10^{-pH} + K_a}$

問8: pH = pKaのとき、αの値を求め、このときKaを用いてcの式を書け。

* pH = pKaのとき、問6のHenderson-Hasselbalchの式より、

$pH = pK_a + log_{10}\frac{[A^-]}{[HA]}$

$0 = log_{10}\frac{[A^-]}{[HA]}$

$\frac{[A^-]}{[HA]} = 1$

$[A^-] = [HA]$

* よって、$cα = c(1-α)$ より、 $α = 1 - α$ なので、 $α = \frac{1}{2}$

* 問3より、$K_a = \frac{cα^2}{1-α} = \frac{c(\frac{1}{2})^2}{1-\frac{1}{2}} = \frac{c\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{c}{2}$

* よって、$c = 2K_a$

3. 最終的な答え

問1: $K_a = \frac{[H^+][A^-]}{[HA]}$ (単位: mol/L)、 $α = \frac{[A^-]}{c}$

問2: [HA] = c(1-α), [H+] = cα, [A-] = cα

問3: $K_a = \frac{cα^2}{1-α}$

問4: $α = \frac{-K_a + \sqrt{K_a^2 + 4cK_a}}{2c}$

問5: $α = \sqrt{\frac{K_a}{c}}$, $[H^+] = \sqrt{cK_a}$

問6: $pH = pK_a + log_{10}\frac{[A^-]}{[HA]}$

問7: $\alpha = \frac{K_a}{10^{-pH} + K_a}$

問8: $α = \frac{1}{2}$, $c = 2K_a$