与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $y = x^3(x+4)^3$ (2) $y = (2x^3 - 6x + 3)^2$ (3) $y = \frac{1}{x+3}$ (4) $y = \frac{1+x^2}{1-x^2}$ (5) $y = \sqrt{4x+3}$ (6) $y = (3x-2)^{\frac{2}{3}}$

1. 問題の内容

与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $y = x^3(x+4)^3$

(2) $y = (2x^3 - 6x + 3)^2$

(3) $y = \frac{1}{x+3}$

(4) $y = \frac{1+x^2}{1-x^2}$

(5) $y = \sqrt{4x+3}$

(6) $y = (3x-2)^{\frac{2}{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^3(x+4)^3$

積の微分法を使います。 $(uv)' = u'v + uv'$

$y' = (x^3)'(x+4)^3 + x^3((x+4)^3)'$

$y' = 3x^2(x+4)^3 + x^3(3(x+4)^2(1))$

$y' = 3x^2(x+4)^3 + 3x^3(x+4)^2$

$y' = 3x^2(x+4)^2[(x+4)+x]$

$y' = 3x^2(x+4)^2(2x+4)$

$y' = 6x^2(x+4)^2(x+2)$

(2) $y = (2x^3 - 6x + 3)^2$

合成関数の微分法を使います。 $y=f(g(x))$ のとき $y' = f'(g(x))g'(x)$

$y' = 2(2x^3 - 6x + 3)(6x^2 - 6)$

$y' = (4x^3 - 12x + 6)(6x^2 - 6)$

$y' = 24x^5 - 24x^3 - 72x^3 + 72x + 36x^2 - 36$

$y' = 24x^5 - 96x^3 + 36x^2 + 72x - 36$

(3) $y = \frac{1}{x+3}$

$y = (x+3)^{-1}$ と書き換えて合成関数の微分法を使います。

$y' = -1(x+3)^{-2}(1)$

$y' = -\frac{1}{(x+3)^2}$

(4) $y = \frac{1+x^2}{1-x^2}$

商の微分法を使います。 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$y' = \frac{(2x)(1-x^2) - (1+x^2)(-2x)}{(1-x^2)^2}$

$y' = \frac{2x-2x^3 + 2x + 2x^3}{(1-x^2)^2}$

$y' = \frac{4x}{(1-x^2)^2}$

(5) $y = \sqrt{4x+3}$

$y = (4x+3)^{\frac{1}{2}}$と書き換えて合成関数の微分法を使います。

$y' = \frac{1}{2}(4x+3)^{-\frac{1}{2}}(4)$

$y' = \frac{2}{\sqrt{4x+3}}$

(6) $y = (3x-2)^{\frac{2}{3}}$

合成関数の微分法を使います。

$y' = \frac{2}{3}(3x-2)^{-\frac{1}{3}}(3)$

$y' = \frac{2}{(3x-2)^{\frac{1}{3}}}$

$y' = \frac{2}{\sqrt[3]{3x-2}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 6x^2(x+4)^2(x+2)$

(2) $y' = 24x^5 - 96x^3 + 36x^2 + 72x - 36$

(3) $y' = -\frac{1}{(x+3)^2}$

(4) $y' = \frac{4x}{(1-x^2)^2}$

(5) $y' = \frac{2}{\sqrt{4x+3}}$

(6) $y' = \frac{2}{\sqrt[3]{3x-2}}$